7、图论中的支配树算法与环形图性质研究

图论中的支配树算法与环形图性质研究

1. 支配树算法相关内容

1.1 相关引理与推论

• 推论 12 ：设 (G = (V, E, ξ, s)) 为有向图，(v)、(v’) 是 (V) 中不同的顶点，且 (P_G(v) = P_G(v’))，(U = {u | ∃e ∈E, ξ(e) = (v, u)}) 为 (v) 的所有出邻接点集合。若 (P_G(v)) 不是 (U) 中任何顶点 (u) 的支配点，即 (∀u ∈U)，(P_G(v) ∉D_G(u))，则对于每个顶点 (x ∈V \setminus {v})，有 (δ_G(x) = δ_{G[v’←v]}(x))。
• 引理 13 ：设 (A) 是 (G = (V, E, ξ, s)) 的一个标注，(e, f ∈E_F) 是两条共享终点的前向边，即 (e^+ = f^+)。若 (e^-⪯ A f^-)，则对于每个 (x ∈V)，有 (P_G(x) = P {G - f}(x))。

1.2 支配树算法描述

该算法用于寻找给定有向图 (G = (V, E, ξ, s)) 的支配树，其基于对有向图的一系列变换，且不改变底层的支配树。算法主要分为三个部分：
1. 计算标注 ：运行深度优先搜索（DFS）以找到输入有向图 (G) 的初始标注 (A = (≤, F))，此时没有边被标记。
2. 寻找支配树 ：
- 设 (G_i = (V_i, E_i, ξ_i, s_i