41、算法研究：自由标签最大化、采样算法与图核化

算法研究：自由标签最大化、采样算法与图核化

1. 自由标签最大化问题

在航空交通控制等场景中，控制器需要在电脑屏幕上监控飞机，飞机以移动点和相关文本标签的形式呈现。当前，他们花费大量时间手动移动标签，以防止标签相互交叉而变得不可读。传统的地图标注算法并不适用于此场景，因此引入了自由标签最大化问题。

自由标签最大化问题要求用固定尺寸的标签标注所有点，并最大化自由标签（不与其他标签交叉的标签）的数量。在标签直接附着于点的常见模型下，已经提出了简单高效的常数因子近似算法和多项式时间近似方案（PTAS）。

1.1 算法步骤

• 计算 1 - 网格，时间复杂度为 $O(n \log n)$。
• 设 $k = \lceil 8 / \varepsilon \rceil$，从 1 - 网格生成所有 $k^2$ 种可能的 $k$ - 网格 $G_1, \ldots, G_{k^2}$。
• 对于每个 $k$ - 网格 $G_i$，计算包含点的（最多 $n$ 个）单元格的内部最优标注。对于单元格 $c \in G_i$，通过枚举 $P_c$ 的潜在可释放子集 $F$，并检查对于每个子集 $F$，$P_c$ 是否可以标注，使得 $F$ 中的所有点都有自由标签。
• 从这 $k^2$ 个解决方案中选择最佳方案，即为 $(1 - \varepsilon)$ - 近似解。

1.2 不同模型的运行时间

模型	运行时间