poj 2954 皮克定理（求三角形内部的整数坐标数）

最新推荐文章于 2022-07-08 20:06:12 发布

dumeichen

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分类专栏：数学——计算几何

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本文介绍了一种使用Pick公式和最大公约数技巧来计算给定三个整数坐标点作为顶点的三角形内部整数点数量的方法。通过归纳法证明了Pick公式，并展示了如何利用此公式快速解决几何问题。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意：给定三个整数坐标点作为三角形的三个顶点，求在此三角形内部的点的数量。

思路：Pick（皮克）公式：平面上以格子点为顶点的简单多边形，如果边上的点数为on，内部的点数为in，则它的面积为area=on/2+in-1。可以用归纳法进行证明。

有一个技巧就是利用gcd求每个边上的整数点数：即一条线段（端点都是整数坐标）上的整数点数-1是端点横坐标之差的绝对值和纵坐标之差绝对值的最大公约数。比较巧妙。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
using namespace std;
struct point{
    int x,y;
}p[3];
int area,num;
int compute_area(){
    int x1,x2,y1,y2;
    x1 = p[1].x-p[0].x;
    y1 = p[1].y-p[0].y;
    x2 = p[2].x-p[0].x;
    y2 = p[2].y-p[0].y;
    return abs(x1*y2-x2*y1);
}
int gcd(int x,int y){
    if(!y)
        return x;
    return gcd(y,x%y);
}
int p_online(){
    int i,res=0;
    for(i = 0;i<3;i++)
        res += gcd(abs(p[i].x-p[(i+1)%3].x),abs(p[i].y-p[(i+1)%3].y));
    return res;
}
int main(){
    while(1){
        int i,flag = 0;
        for(i = 0;i<3;i++){
            scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y);
            if(p[i].x || p[i].y)
                flag = 1;
        }
        if(!flag)
            break;
        area = compute_area();
        num = p_online();
        printf("%d\n",(area-num)/2+1);
    }
    return 0;
}