等幂和数组

如果两组由不同的n（n>=3）个正整数组成的数组中，两数组的各个数之和相等，且两数组的各个数从2次幂之和、3次幂之和以至到n-1次幂之和均相等，则这两个数组称为等幂和n元组；

本节从探讨等幂和3元组至等幂和n（n<=6）元组，其中递推关系的建立与实施是重点，也是难点；

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等幂和3元组

把6个互不相等的正整数a、b、c、d、e、f分成两组，若这两个数组具有以下两个相等特性：

• a+b+c=d+e+f=s

• a^2+b^2+c^2=d^2+e^2+f^2=s2

则把这两数组（a、b、c）与（d、e、f）（约定a< b< c，d< e< f，a< d）称为等幂和3元组；

例如（1,5,6）与（2,3,7）就是等幂和3元组：

• 1+5+6=2+3+7=12

• 1^2+5^2+6^2=2^2+3^2+7^2=62

给定正整数s，探求和为s的所有等幂和3元组；

1.说明：

设6个正整数存储于b数组b（1），……，b（6）中，同时约定： b（1）、b（2）、b（3）为一组，b（4）、b（5）、b（6）为另一组；

从键盘输入整数s，因6个不同正整数之和至少为21，即输入整数s>=11；

设置b（1）、b（2）与b（4）、b（5）循环，注意到b（1）+b（2）+b（3）=s，且b（1）< b（2）< b（3），因而b（1），b（2）循环取值为：

• b（1）：1~（s-3）/3，因为b（2）比b（1）至少大2；

• b（2）：b（1）+1~（s-b（1）-1）/2，因为b（3）比b（2）至少大1；

b（3）=s-b（1）-b（2）；

设置b（4），b（5）循环基本同上，只是b（4）>b（1），因而b（4）起点为b（1）+1；

设 s2=b（1）*b（1）+b（2）*b（2）+b（3）*b（3），如果b（4）*b（4）+b（5）*b（5）+b（6）！=s2，则继续探索；

同时注意到两个3元组中若部分相同部分不同，不可能有和与平方和同时相等，因而可省略排除以上6个正整数中是否存在相等的检测；

若满足平方和相等要求，打印输出和为s的等幂和3元组，并用n统计解的个数；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int n,s,s2,b[7];
   printf("请输入正整数s:");
   scanf("%d",&s);
   n=0;
   for(b[1]=1;b[1]<=(s-3)/3;b[1]++)      /*设置枚举循环*/
    for(b[2]=b[1]+1;b[2]<=(s-b[1]-1)/2;b[2]++)
     for(b[4]=b[1]+1;b[4]<=(s-3)/3;b[4]++)
      for(b[5]=b[4]+1;b[5]<=(s-b[4]-1)/2;b[5]++)
      {
         b[3]=s-b[1]-b[2];
         b[6]=s-b[4]-b[5];               /*确保和等于s*/
         s2=b[1]*b[1]+b[2]*b[2]+b[3]*b[3];
         if(b[4]*b[4]+b[5]*b[5]+b[6]*b[6]!=s2)
            continue;                    /*排除平方和不相等*/
         n++;
         printf("%3d: (%2d,%2d,%2d) ",n,b[1],b[2],b[3]);
         printf("(%2d,%2d,%2d)  s2=%ld \n",b[4],b[5],b[6],s2);
      }
      if(n==0)
         printf("无解！\n");
   }

3.程序运行示例及其注意事项：

请输入正整数s:15
1: ( 1, 6, 8) ( 2, 4, 9)  s2=101
2: ( 2, 6, 7) ( 3, 4, 8)  s2=89

运行程序不难得数组元素均为1位数的等幂和3元组有4组：

• （1,5,6;2,3,7），（1,6,8;2,4,9），（2,6,7;3,4,8），（3,7,8;4,5,9）

可以把以上4组解巧妙重组为“4位数”3元组：

• （1123,5667,6878；2234,3445,7989）（s1=13668，s2=80682902）

以上“4位数”3元组称为金蝉数组，因该数组具有和相等（s1）且平方和也相等（s2），还具有神奇的脱壳性质：

同时从高位去除1、2个数字，或同时从低位去除1、2个数字，或同时去除最高位与最低位后，分别得：

• （123,667,878；234,445,989）（s1=1668，s2=1230902）

• （23,67,78；34,45,89）（s1=168，s2=11102）

• （112,566,687；223,344,798）（s1=1365，s2=804869）

• （11,56,68；22,34,79）（s1=135，s2=7881）

• （12,66,87；23,44,98）（s1=165，s2=12069）

经过脱壳而得的以上数组均 具有和相等（s1）且平方和也相等（s2） 的特性；

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等幂和n元组

再看“1,5,8,12”与“2,3,10,11”这两个4元数组具有以下特性：

• 1+5+8+12=2+3+10+11=26

• 1^2+5^2+8^2+12^2=2^2+3^2+10^2+11^2=234

• 1^3+5^3+8^3+12^3=2^3+3^3+10^3+11^3=2366

显然，“1,5,8,12”与“2,3,10,11”为等幂和4元组；

这些奇特的数组是如何得到的呢？

以此类推，是否存在等幂和5元组或等幂和6元组？

下面设计探索等幂和n（3<=n<=6）元组；

1.说明：

首先给出以下一个递推性质，它是求解的依据：设a数组（a1，a2，……，an）与b数组（b1，b2，……，bn）的一次幂和相等，……，k-1次幂和也相等，则可以应用二项式定理证明一下的递推性质：

（1）、当k为奇数时：

• a1^k+……+an^k+(m-a1)^k+……+(m-an)^k=b1^k+……+bn^k+(m-b1)^k+……+(m-bn)^k；

（2）、当k为偶数时：

• a1^k+……+an^k+(m-b1)^k+……+(m-bn)^k=b1^k+……+bn^k+(m-a1)^k+……+(m-an)^k；

应用上述递推性质，先取互不相同的正整数a1、a2、b1、b2，使得a1+a2=b1+b2，然后取k=2，通过由小到大取值逐个试验确定整数m，代入偶数递推式后使等式的两边出现一个相同项，消去该项后则得到两个3元数组（a1，a2，a3）与（b1，b2，b3），其和相等，平方和也相等；

例如，a1+a2=b1+b2取为1+6=3+4，m=8，据偶数递推式则有：

• 1^2+6^2+(8-3)^2+(8-4)^2=3^2+4^2+(8-1)^2+(8-6)^2

即有：

• 1^2+6^2+5^2+4^2=3^2+4^2+7^2+2^2

化简得：

• 1^2+6^2+5^2=3^2+7^2+2^2

即得两个和相等（都为12）且平方和也相等（都为62）的两个3元数组：1,5,6与2,3,7；

接着又通过取值试验确定整数m代入奇数递推式后使等式两边出现两个相同项，消去后则得到两个4元数组（a1，a2，a3，a4）与（b1，b2，b3，b4），它们的和，平方和，立方和都相等；

以此类推，可得等幂和6元组；

2.程序设计：

#include<stdio.h>
#include<math.h>
int main()
{
   int a1,b1,b2,n,k,m1,m,i,j,t,x,z;
   int a[20],b[20],c[20],d[20],fa[20],fb[20];
   long s1,s2,tt1[20],tt2[20],s[20];
   printf("请输入每组数的个数n(2<n<7):");
   scanf("%d",&n);
   for(a1=1;a1<=19;a1++)
   {
      c[1]=a1;a[1]=a1;
      for(b1=a1+1;b1<=22;b1++)
      {
         d[1]=b1;
         b[1]=b1;
         for(b2=b1+1;b2<=25;b2++)    /*取初值a(1)+a(2)=b(1)+b(2)*/
         {
            d[2]=b2;
            b[2]=b2;
            c[2]=d[1]+d[2]-c[1];
            a[2]=c[2];
            for(k=2;k<=n-1;k++)
            {
               m1=a[k]+1;
               if(b[k]>a[k])
                  m1=b[k]+1;
               for(m=m1;m<=3*m1;m++)  /*m在约定的循环中取值*/
               {
                  for(i=1;i<=k;i++)
                  {
                     a[i]=c[i];
                     b[i]=d[i];
                  }
                  if(k%2==0)  /*k为偶数按式（2）赋值*/
                     for(i=1;i<=k;i++)
                     {
                        a[k+i]=m-b[i];
                        b[k+i]=m-a[i];
                     }
                  else        /*k为奇数按式（1）赋值*/
                     for(i=1;i<=k;i++)
                     {
                        a[k+i]=m-a[i];
                        b[k+i]=m-b[i];
                     }
                  t=0;
                  for(i=1;i<=2*k;i++)
                     for(j=1;j<=2*k;j++)
                        if(a[i]==b[j] && a[i]>0) /*比较两数组，相同的非零项赋*/
                        {
                           a[i]=0;
                           b[j]=0;
                           t=t+1;
                           break;
                        }
                  if(t!=k-1)
                     continue;
                  for(i=1;i<=2*k-1;i++) /*两数组分别由小到大排序*/
                     for(j=i+1;j<=2*k;j++)
                     {
                        if(a[i]>a[j])
                        {
                           x=a[i];
                           a[i]=a[j];
                           a[j]=x;
                        }
                        if(b[i]>b[j])
                        {
                           x=b[i];
                           b[i]=b[j];
                           b[j]=x;
                        }
                     }
                  for(i=1;i<=k+1;i++)
                  {
                     a[i]=a[i+k];  /*重新赋值，去除两数组中的零项*/
                     b[i]=b[i+k];
                  }
                  for(i=1;i<=k;i++)
                  {
                     if(z=0,a[i]==a[i+1] || b[i]==b[i+1])         /*同数组中有相同项返回*/
                     {
                        z=1;
                        break;
                     }
                  }
                  if(z==1)
                     continue;
                  for(i=1;i<=k+1;i++)
                  {
                     c[i]=a[i];
                     d[i]=b[i];
                  }
                  m=3*m1;
               }
            }
            if(k!=n)
               continue;
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
               tt1[i]=1;
               tt2[i]=1;
            }
            for(i=1;i<=n;i++)
            {
               fa[i]=a[i];
               fb[i]=b[i];
            }
            for(k=1;k<=n-1;k++)
            {
               for(s1=0,s2=0,i=1;i<=n;i++)   /*验证两组各方幂和是否相等*/
               {
                  tt1[i]=tt1[i]*fa[i];
                  tt2[i]=tt2[i]*fb[i];
                  s1=s1+tt1[i];
                  s2=s2+tt2[i];
               }
               z=0;
               if(s1!=s2)
               {
                  z=1;
                  break;
               }
               s[k]=s1;
            }
            if(z==1)
               continue;
            printf("\n第1组%d个数为:",n);
            for(i=1;i<=n;i++)
               printf("%d",a[i]);
            printf("\n第2组%d个数为:",n);
            for(i=1;i<=n;i++)
               printf("%d",b[i]);
            for(k=1;k<=n-1;k++)
               printf("\n%d次方和都是: %ld",k,s[k]);
            printf("\n");
            if(z==0)
               break;
         }
         if(z==0)
            break;
      }
      if(z==0)
         break;
   }
}

3.程序运行示例及其注意事项：

输入每组数的个数n(2<n<7):6
第1组6个数为: 1 6 7 17 18 23
第2组6个数为: 2 3 11 13 21 22
1次方和都是:72 
2次方和都是:1228
3次方和都是:23472
4次方和都是:472036
5次方和都是:970352

注意：运行程序，分别输入n=3、4、5，可得相应的等幂和3、4、5元组；

当n>6时，如何修改程序搜索等幂和n元组，请有兴趣的读者进一步探索；