5、自然数的集合论基础与性质探究

自然数的集合论基础与性质探究

自然数的直观理解与皮亚诺系统

我们对自然数的基本直观理解是，存在一个最小的数 0，并且每个数 n 都有一个后继数 Sn。如果我们从 0 开始，依次构造每个数的后继数 0, S0 = 1, S1 = 2, S2 = 3, …，那么最终我们会得到所有的自然数。从集合论的角度来看，我们可以通过以下公理来刻画这种直观理解。

一个皮亚诺系统或自然数系统是一个结构化的集合 (N, 0, S)，它满足以下条件：
1. N 是一个包含元素 0 的集合，即 0 ∈ N。
2. S 是 N 上的一个函数，S : N → N。
3. S 是一个单射，即 Sn = Sm 意味着 n = m。
4. 对于每个 n ∈ N，Sn ≠ 0。
5. 归纳原理：对于每个 X ⊆ N，如果 [0 ∈ X 且 (∀n ∈ N)[n ∈ X 意味着 Sn ∈ X]]，那么 X = N。

这些自然数的明显性质被称为皮亚诺公理，以纪念意大利逻辑学家和数学家皮亚诺，他在戴德金早期表述的基础上，首次将这些性质作为数论的公理基础提出。其中最重要的是归纳原理，其典型应用在下面的引理中得到了体现。

引理 ：在皮亚诺系统 (N, 0, S) 中，每个非零元素 n 都是某个数的后继，即如果 n ≠ 0，那么存在 m ∈ N 使得 n = Sm，并且对于每个 n，Sn ≠ n。

证明过程如下：
- 为了通过归纳原理证明第一个断言，只需证明集合 X = {n ∈ N | n = 0 或 (∃m ∈ N)[n = Sm]} 满足条件 0 ∈ X 和 (∀n ∈ N)[n ∈ X