3、集合论中的悖论与公理：从困境到公理化构建

集合论中的悖论与公理：从困境到公理化构建

1. 集合论早期遗留问题

在集合论早期发展中，康托尔及其追随者取得了一系列基础成果。到20世纪初，集合论已走向成熟，并在诸多领域，尤其是数学分析中得到广泛且重要的应用。其中，超限算术的创立堪称一大成功，它引入并研究了无限数的加法、乘法和乘方运算。

然而，到1900年，仍有两个关于等势性的基本问题悬而未决，它们对集合论的后续发展起到了决定性作用。这两个问题以假设的形式呈现：
- 基数可比性假设 ：对于任意两个集合 (A) 和 (B)，要么 (A \leq_c B)，要么 (B \leq_c A)。
- 连续统假设 ：不存在基数介于自然数集 (N) 和实数集 (R) 之间的实数集 (X)，即 ((\forall X \subseteq R)[X \leq_c N \vee X =_c R])。由于 (R =_c P(N))，连续统假设是广义连续统假设的一个特例，广义连续统假设指出对于每个无限集 (A)，((\forall X \subseteq P(A))[X \leq_c A \vee X =_c P(A)])。若这两个假设都成立，那么自然数集 (N) 和实数集 (R) 代表了最小的两种“无穷阶”，即每个集合要么可数，要么与 (R) 等势，要么基数严格大于 (R)。

2. 朴素集合论的基础与问题

在集合论发展的“朴素”阶段，其建立基于康托尔对集合的定义。对早期结果的证明进行分析，可发现它们都基于外延性属性和一般概括原则。

2.1 一般概括原则

对于每个 (n) 元确定条件 (P)