6、数学中的悖论与公理化方法

数学中的悖论与公理化方法

1. 数学中的悖论

数学中存在一些看似矛盾但实际上并非不一致的悖论结果，它们是精确的定理，只是与我们的直觉相悖。
- 函数与曲线悖论
- 由波尔查诺和魏尔斯特拉斯构造的函数，它在每一点都连续但不可导。
- 1890 年，皮亚诺构造的一条曲线能够完全填满一个正方形。
- 高维几何悖论 ：人类对三维几何的理解很大程度上是天生的，较为出色。但在思考高维几何时，三维直觉往往失效。例如，在四维空间中可以构造两个圆 (C_1) 和 (C_2)，使得 (C_1) 上任意一点与 (C_2) 上任意一点之间的距离都相等，不过我们无法直观想象它，因为在三维空间中这是不可能的。
- 概率悖论
- 生日悖论 ：理查德·冯·米塞斯提出的生日悖论广为人知。在随机挑选的 23 个人中，有超过 1/2 的概率存在两个人生日相同，这与我们的直觉相悖，通常我们会认为需要更多人才能达到这个概率，但通过简单计算就能证明这一事实。
- 帽子问题 ：有 (n) 个人，每人戴一顶蓝色或红色的帽子，每个人能看到其他人帽子的颜色，但看不到自己的。游戏规则是，在某一时刻他们要猜测自己帽子的颜色，需立即且独立作答，也可以弃权。若所有人弃权或有人猜错则失败，至少一人作答且所有人都答对则获胜。玩家可事先商定策略，游戏开始后不能交流。直觉上，获胜概率不可能大于 1/2，因为一个人猜错的概率是 1/2，多人同时作答时，有人答错的概率更大。然而，实际上存在策略使得当 (n) 趋于无穷大时，获胜概率趋近