4、离散系统的数学模型：原理、方法与应用

离散系统的数学模型：原理、方法与应用

1. 离散时间系统表示

1.1 差分方程形式

考虑一个我们希望控制的系统的 $n$ 阶差分方程模型，由方程 2.1 给出：
[y(k) + a_1y(k - 1) + \cdots + a_ny(k - n) = b_0u(k) + b_1u(k - 1) + \cdots + b_nu(k - n)]
其中假设对于 $k < 0$，输入 $u(k) = 0$。该系统的传递函数 $G(z)$ 由方程 2.2a 和 2.2b 给出：
[G(z) = \frac{b_0 + b_1z^{-1} + \cdots + b_nz^{-n}}{1 + \alpha_1z^{-1} + \cdots + \alpha_nz^{-n}} = \frac{y(z)}{u(z)}]
通常，对于大多数动态系统，$b_0 = 0$，即在时间 $kh$ 施加的控制在输出 $y$ 处出现之前存在一定延迟。为了使用方程 2.2 求时间响应 $y(k)$，需要假设 $y(-1), y(-2), \cdots, y(-n)$ 的初始条件为零，否则可以采用对方程 2.1 进行 $z$ 变换的方法。然而，方程 2.1 的差分表示和方程 2.2a、2.2b 的传递函数表示都不太适合通过数字计算机分析系统/模型性能。

1.2 信号流图与分析

信号流图遵循 Mason 规则，对于：
[\frac{y(z)}{u(z)} = \frac{b_0 + \sum_{i = 1}^{n}b_iz^{-i}}{1 + \sum_{i = 1}^{n}a_iz^{-i}}]
其中 $z^{-1}$ 表示