22、量子算法：从秘密异或掩码到暴力搜索

量子算法：从秘密异或掩码到暴力搜索

在当今科技飞速发展的时代，量子算法作为一种新兴的计算方式，正逐渐展现出其强大的潜力。本文将深入探讨量子算法在解决秘密异或掩码问题和暴力搜索问题中的应用，分析经典解法和量子解法的差异，并详细介绍相关算法的原理和操作步骤。

1. 秘密异或掩码问题

1.1 问题描述

对于给定的函数 (f)，存在一个秘密异或掩码 (s)，满足 (y \oplus s = x) 时，(f(x) = f(y))。例如，当 (n = 3) 时，有如下可能的真值表：
| (x) | (f(x)) |
| — | — |
| 000 | 011 |
| 001 | 101 |
| 010 | 001 |
| 011 | 000 |
| 100 | 001 |
| 101 | 000 |
| 110 | 011 |
| 111 | 101 |

同时，满足条件的真值表共有 1680 种不同的可能。这是因为需要为四对输入分配输出，而每对输入有 8 种不同的输出选择，根据排列组合原理，总共有 (8\times7\times6\times5 = 1680) 种可能的排列。

1.2 经典解法

经典方法通过寻找碰撞（即找到一对 (x) 和 (y)，使得 (f(x) = f(y))）来确定秘密异或掩码 (s)。因为 (f(x) = f(y)) 意味着 (x = y \oplus s) 和 (y = x \oplus s)，所以可以通过计算 (x \oplus y) 得到 (s)：
[x \oplus y = x \oplus (x \oplus s) = (x \oplus x) \oplus s = s]

一种方法是逐个尝试输入，直到找到碰撞。在最坏情况下，可能需要尝试一半的输入才能找到碰撞，但再尝试一个输入就一定能找到碰撞，因此查询复杂度为 (O(2^{n - 1} + 1))。

为了提高效率，可以随机查询输入。假设已经查询了 (k) 次 (f)，得到 (k) 个 (f) 的值，这些值中存在碰撞的概率由值对的数量决定，即组合数 (kC_2 = \frac{k(k - 1)}{2} = O(k^2))。由于该概率随查询次数的平方增长，因此预计大约需要查询 (2^{n/2}) 次才能找到碰撞。虽然这是一种改进，但复杂度仍然是指数级的。

以下是一个具体的练习：已知 (n = 4)，查询 oracle 得到 (f(1011) = 0010) 和 (f(0111) = 0010)，则 (s = 1011 \oplus 0111 = 1100)。

此外，寻找碰撞的任务与著名的生日问题密切相关。生日问题是计算在一个有 (n) 个人的房间里，至少有两个人生日相同的概率。假设一年有 365 天，且人们的生日是随机分布的。为了解决这个问题，先计算 (n) 个人生日都不同的概率，然后用 1 减去这个概率。具体计算过程如下：
第一个人在房间里，没有人与他生日相同，概率为 1；第二个人生日与第一个人不同的概率为 (\frac{364}{365})；第三个人生日与前两个人不同的概率为 (\frac{363}{365})；以此类推，(n) 个人生日都不同的概率为：
[\frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \times \cdots \times \frac{365 - (n - 1)}{365}]

将其乘以 (\frac{365}{365})，得到：
[\frac{365 \times 364 \times 363 \times 362 \times \cdots \times (365 - (n - 1))}{365^n}]

因此，至少有两个人生日相同的概率为：
[1 - \frac{365 \times 364 \times 363 \times 362 \times \cdots \times (365 - (n - 1))}{365^n}]

可以使用计算机代数系统进行计算，例如当 (n = 23) 时：
- 使用 Mathematica：

n = 23;
1 - Product[i / 365., {i, 365 - (n - 1), 365}]

输出结果为 0.507297。
- 使用 SageMath：

n = 23
1 - prod(i / 365. for i in range(365 - (n - 1), 366))

输出结果为 0.507297234323986。

这表明在一个有 23 人的房间里，至少有两个人生日相同的概率超过 50%，这可能比人们预期的要高，因此生日问题也被称为生日悖论。

1.3 量子解法：西蒙算法

西蒙算法遵循常见的模式：应用哈达玛门（Hadamards）、查询 oracle、再次应用哈达玛门。该算法使用 (n) 个输入量子比特和 (n) 个答案量子比特，并且每个答案量子比特初始化为 (|0\rangle) 状态。

量子电路如下：

|0⟩  Uf  |0⟩
...  ...  ...
|0⟩  Uf  |0⟩
|0⟩  H   |0⟩
...  ...  ...
|0⟩  H   |0⟩

具体步骤如下：
1. 初始状态为两个 (n) 量子比特寄存器，分别用于输入量子比特和答案量子比特：
[|0\cdots00\rangle|0\cdots00\rangle]
2. 对每个输入量子比特应用哈达玛门，得到：
[|+\cdots++\rangle|0\cdots00\rangle]
将 (|+\rangle) 状态展开，得到 (n) 位字符串的均匀叠加：
[\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in {0, 1}^n} |x\rangle|0\cdots00\rangle]
3. 查询 oracle，得到：
[\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in {0, 1}^n} |x\rangle|f(x)\rangle]
4. 再次对每个输入量子比特应用哈达玛门，根据公式 (H^{\otimes n}|x\rangle) 是比特字符串 (|z\rangle) 的均匀叠加乘以相位 ((-1)^{x \cdot z})，得到：
[\frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{x \in {0, 1}^n} \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{z \in {0, 1}^n} (-1)^{x \cdot z}|z\rangle|f(x)\rangle]
5. 测量答案量子比特，得到一个特定的 (f(x)) 值，记为 (f’)。存在两个 (x) 值（记为 (x’) 和 (x’‘)）使得 (f(x’) = f(x’‘) = f’)，此时状态将坍缩到这两个 (x) 值：
[\frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2^n}} \sum_{z \in {0, 1}^n} [(-1)^{x’ \cdot z} + (-1)^{x’’ \cdot z}]|z\rangle|f’\rangle]
6. 测量输入量子比特。由于 ((-1)^{x’ \cdot z} = \pm1) 和 ((-1)^{x’’ \cdot z} = \pm1)，它们的和要么是 (\pm2)，要么是 0：
[(-1)^{x’ \cdot z} + (-1)^{x’’ \cdot z} =
\begin{cases}
\pm2, & x’ \cdot z = x’’ \cdot z \mod 2 \
0, & x’ \cdot z \neq x’’ \cdot z \mod 2
\end{cases}]
因此，测量输入量子比特时，只能得到满足 (x’ \cdot z = x’’ \cdot z \mod 2) 的 (|z\rangle) 值。将 (x’’ \cdot z) 加到等式两边，得到：
[x’ \cdot z + x’’ \cdot z = x’’ \cdot z + x’’ \cdot z \mod 2]
由于任何比特与自身模 2 相加为 0，所以等式右边为 0，即：
[x’ \cdot z + x’’ \cdot z = 0 \mod 2]
因式分解得到：
[(x’ + x’‘) \cdot z = 0 \mod 2]
因为 (x’) 和 (x’‘) 是产生碰撞的一对输入，所以 (x’ \oplus x’’ = s)，则有：
[s \cdot z = 0 \mod 2]
写成点积形式为：
[s_{n - 1}z_{n - 1} + \cdots + s_1z_1 + s_0z_0 = 0 \mod 2]

重复这个过程 (O(n)) 次，可以得到 (n) 个不同的 (|z\rangle) 值，每个值都满足上述方程。这些方程构成了一个包含 (n) 个未知数（(s_i)）的 (n) 元方程组，可以求解得到 (s)。因此，西蒙算法通过 (O(n)) 次查询 oracle 就可以找到 (s)，这是经典计算机和量子计算机之间的第一个指数级 oracle 分离。

以下是一个练习：使用西蒙算法寻找 (n = 3) 位字符串 (s = s_2s_1s_0)，运行量子电路三次，得到 (|z\rangle) 的值为 (|011\rangle)、(|110\rangle)、(|010\rangle)，满足 (s \cdot z = 0 \mod 2)。可以列出以下方程组：
[\begin{cases}
s_1 + s_2 = 0 \mod 2 \
s_1 + s_0 = 0 \mod 2 \
s_1 = 0 \mod 2
\end{cases}]
解得 (s = 000)。

1.4 总结

问题	经典查询复杂度	量子算法	量子查询复杂度	渐近量子加速
(n) 位奇偶性	(n)	Deutsch	(n/2)	无
常数 vs 平衡	精确：(2^{n - 1} + 1) 有界：(O(1))	Deutsch - Jozsa	1	指数级
点积字符串	(n)	Bernstein - Vazirani	1	多项式级
递归点积字符串	(\Omega(n \log_2 n))	递归	(n)	超多项式级
异或掩码	(O(2^{n/2}))	西蒙算法	(O(n))	指数级

从上述表格可以看出，对于不同的问题，量子算法在查询复杂度上有不同程度的提升。虽然在某些问题上，量子算法的渐近复杂度与经典算法相同，但在其他问题上，如寻找秘密异或掩码，量子算法可以实现指数级的加速。

2. 暴力搜索问题

2.1 问题描述

暴力搜索问题是指给定一个函数 (f: {0, 1}^n \to {0, 1})，该函数仅对一个输入输出 1，对其他所有输入输出 0，目标是找到这个特殊的输入，记为 (w)（获胜者）。

一个常见的例子是在电话簿中搜索。给定一个按字母顺序排列的人名列表和对应的电话号码，根据人名查找电话号码很容易，可以使用二分搜索，最多需要 (\log_2 N) 步（(N) 是条目数量）。但根据电话号码查找人名则比较困难，因为电话号码是无序的，可能需要遍历每个电话号码才能找到匹配项。这种逆问题就是暴力搜索问题，经典计算机解决该问题需要 (O(N)) 次查询。

暴力搜索问题也可以看作是搜索无序数据库或反转函数的问题，并且它还包括尝试通过检查每个输入来解决 NP 类问题，因为这类问题的可能解很容易验证。

2.2 经典解法

经典方法在最坏情况下需要查询所有 (N = 2^n) 个可能的比特字符串，平均情况下需要查询一半的比特字符串，即 (N/2)，因此经典运行时间为 (O(N))。

2.3 量子解法：格罗弗算法

格罗弗算法可以使用 (O(\sqrt{N})) 次查询解决暴力搜索问题。忽略答案量子比特，算法从所有量子比特处于 (|+\rangle) 状态开始，记为初始状态 (|s\rangle)：
[|s\rangle = |+\rangle^{\otimes n} = \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{x \in {0, 1}^n} |x\rangle]
其中 (N = 2^n)。可以通过对全零状态应用哈达玛门来创建这个初始状态，即 (|+\rangle^{\otimes n} = H^{\otimes n}|0\rangle^{\otimes n})。

初始状态是所有 (n) 位字符串的均匀叠加，包括要寻找的二进制字符串 (|w\rangle) 和其他所有字符串：
[|s\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} (|w\rangle + \sum_{i \neq w} |i\rangle) = \frac{1}{\sqrt{N}} |w\rangle + \frac{1}{\sqrt{N}} \sum_{i \neq w} |i\rangle = \frac{1}{\sqrt{N}} |w\rangle + \sqrt{\frac{N - 1}{N}} \frac{1}{\sqrt{N - 1}} \sum_{i \neq w} |i\rangle = \sin\theta|w\rangle + \cos\theta|r\rangle]
其中 (|r\rangle) 是所有不等于 (|w\rangle) 的 (n) 位字符串的均匀叠加，(\theta) 满足 (\sin\theta = \frac{1}{\sqrt{N}}) 和 (\cos\theta = \sqrt{\frac{N - 1}{N}})。

在坐标平面上，以 (|r\rangle) 和 (|w\rangle) 为 (x) 轴和 (y) 轴绘制初始状态：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([|r⟩]):::startend --> B([|w⟩]):::startend
    B --> C(|s⟩):::process
    C --> D(θ):::decision

接下来，查询相位 oracle (U_f)。由于只有当 (x = w) 时 (f(x) = 1)，状态变为：
[U_f|s\rangle = (-1)^1 \sin\theta|w\rangle + (-1)^0 \cos\theta|r\rangle = -\sin\theta|w\rangle + \cos\theta|r\rangle]
这意味着 (|w\rangle) 的振幅被反转。在坐标平面上，这相当于通过 (|w\rangle) 进行反射：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([|r⟩]):::startend --> B([|w⟩]):::startend
    B --> C(|s⟩):::process
    C --> D(θ):::decision
    C --> E(Uf|s⟩):::process
    E --> F(θ):::decision

然后，应用一个关于 (|s\rangle) 反射的量子门 (R_s)。在 (rw) 平面上，两次反射的净效果是旋转 (2\theta)：

graph LR
    classDef startend fill:#F5EBFF,stroke:#BE8FED,stroke-width:2px;
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;
    classDef decision fill:#FFF6CC,stroke:#FFBC52,stroke-width:2px;

    A([|r⟩]):::startend --> B([|w⟩]):::startend
    B --> C(|s⟩):::process
    C --> D(θ):::decision
    C --> E(Uf|s⟩):::process
    E --> F(θ):::decision
    E --> G(RsUf|s⟩):::process
    G --> H(2θ):::decision

重复应用 (U_f) 和 (R_s)，每次旋转 (2\theta)，直到最终状态接近 (|w\rangle)。假设总共需要 (t) 次旋转，由于 (|r\rangle) 和 (|w\rangle) 之间的夹角为 (90^{\circ})（即 (\frac{\pi}{2}) 弧度），则有：
[\theta + t(2\theta) = \frac{\pi}{2}]
[t(2\theta) = \frac{\pi}{2} - \theta]
[t = \frac{\pi}{4\theta} - \frac{1}{2}]

当 (N) 很大时，(\theta = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{N}}) \approx \frac{1}{\sqrt{N}})，所以 (t \approx \frac{\pi}{4} \sqrt{N} - \frac{1}{2} \approx \frac{\pi}{4} \sqrt{N})。因此，查询次数为 (O(\sqrt{N}))，这相对于经典计算机的 (O(N)) 复杂度实现了二次加速。

最终状态的角度可能不完全是 (\frac{\pi}{2})，因此成功概率可能不完全是 1。但对于大 (N)，角度 (\theta) 很小，最终状态可能只与 (|w\rangle) 相差很小的角度。此外，有方法可以调整算法，使最后一步旋转不同的角度，使最终状态与 (|w\rangle) 完全对齐。

包含答案量子比特的格罗弗算法量子电路如下：

|−⟩  Uf  Uf  Uf
|+⟩  Rs  Rs  Rs
|+⟩  ...  ...
|+⟩  ...  ...
|+⟩  ...  ...

以下是一些相关练习：
- 证明当 (N = 4)（(n = 2)）时，格罗弗算法的最终状态恰好是 (|w\rangle)。
- 当 (n) 个量子比特处于初始状态（所有 (|+\rangle) 状态）时，测量量子比特得到 (|w\rangle) 的概率为 (\frac{1}{N})。
- 应用一步格罗弗算法（一次查询 (U_f) 和一次反射 (R_s)）后测量量子比特，得到 (|w\rangle) 的概率可以通过计算状态在 (|w\rangle) 方向上的振幅的平方得到。在 (rw) 平面上，状态在 (|w\rangle) 方向上的振幅是状态与 (|r\rangle) 之间夹角的正弦值。

通过上述内容可以看出，量子算法在解决秘密异或掩码问题和暴力搜索问题上展现出了显著的优势。西蒙算法和格罗弗算法分别在不同类型的问题中实现了指数级和二次级的加速，为量子计算在实际应用中的发展提供了有力的支持。随着量子技术的不断进步，相信量子算法将在更多领域发挥重要作用。

量子算法：从秘密异或掩码到暴力搜索（下半部分）

2. 暴力搜索问题（续）

2.4 练习解答与操作示例

• 练习 7.22：证明当 (N = 4)（(n = 2)）时，格罗弗算法的最终状态恰好是 (|w\rangle)
  • 当 (N = 4) 时，(\theta=\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{4}})=\frac{\pi}{6})。
  • 因为最终要使状态接近 (|w\rangle)，根据 (\theta + t(2\theta)=\frac{\pi}{2})，将 (\theta=\frac{\pi}{6}) 代入可得：(\frac{\pi}{6}+t\times\frac{\pi}{3}=\frac{\pi}{2})。
  • 解方程：
    • 首先对等式进行化简，(\frac{\pi}{6}+\frac{t\pi}{3}=\frac{\pi}{2})，两边同时乘以 6 去分母得：(\pi + 2t\pi = 3\pi)。
    • 移项可得：(2t\pi=3\pi - \pi = 2\pi)，解得 (t = 1)。
  • 这意味着经过 1 次 (U_f) 和 (R_s) 的操作，状态就会旋转到 (|w\rangle)，所以最终状态恰好是 (|w\rangle)。
• 练习 7.23
  • (a) 当 (n) 个量子比特处于初始状态（所有 (|+\rangle) 状态）时，测量量子比特得到 (|w\rangle) 的概率
    • 初始状态 (|s\rangle=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{x\in{0,1}^n}|x\rangle)，其中 (N = 2^n)。
    • 测量得到 (|w\rangle) 的概率为 (P(|w\rangle)=|\frac{1}{\sqrt{N}}|^2=\frac{1}{N})。
  • (b) 应用一步格罗弗算法（一次查询 (U_f) 和一次反射 (R_s)）后测量量子比特，得到 (|w\rangle) 的概率
    • 初始状态 (|s\rangle=\sin\theta|w\rangle+\cos\theta|r\rangle)，经过 (U_f) 后变为 (U_f|s\rangle=-\sin\theta|w\rangle+\cos\theta|r\rangle)。
    • 设 (R_s) 作用后状态为 (|s’\rangle)，在 (rw) 平面上，经过一次旋转 (2\theta) 后，状态与 (|r\rangle) 的夹角为 (3\theta)。
    • 所以测量得到 (|w\rangle) 的概率 (P = \sin^2(3\theta))，又因为 (\sin\theta=\frac{1}{\sqrt{N}})，则 (P=\sin^2(3\sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{N}})))。
• 练习 7.24
  • (a) 确定 (n) 的值
    • 从 (U_f) 作用于 (x_0,x_1,x_2,x_3) 共 4 个输入量子比特，可知 (n = 4)。
  • (b) 计算 (N) 的值
    • 根据 (N = 2^n)，当 (n = 4) 时，(N = 2^4=16)。
  • (c) 计算格罗弗算法的查询次数
    • 由 (t\approx\frac{\pi}{4}\sqrt{N})，将 (N = 16) 代入可得 (t\approx\frac{\pi}{4}\times4=\pi\approx 3)（这里取整），所以查询次数约为 3 次。
  • (d) 使用 Quirk 实现格罗弗算法并找到 (|w\rangle)
    • 操作步骤如下：
      1. 打开 Quirk 平台（https://bit.ly/3qoOErN），获取自定义门 (U_f) 和 (R_s)。
      2. 初始化 (n) 个量子比特为 (|+\rangle) 状态，可通过对 (|0\rangle) 状态应用哈达玛门实现。
      3. 依次应用 (U_f) 和 (R_s) 约 3 次。
      4. 测量量子比特，得到的结果即为 (|w\rangle)。
  • (e) 使用 Quirk 查询 (U_f) 并填写表格
    • 操作步骤如下：
      1. 在 Quirk 中，对 (U_f) 输入不同的 (x) 值（如 (0000,0001,\cdots,1111)）。
      2. 记录每次输入对应的输出 (y\oplus f(x)) 的值。
      3. 将输入和输出值填入表格。

3. 量子算法的优势与挑战

3.1 优势总结

• 指数级和二次级加速 ：西蒙算法在解决秘密异或掩码问题上，通过 (O(n)) 次查询 oracle 找到 (s)，相较于经典算法的 (O(2^{n/2})) 复杂度，实现了指数级加速。格罗弗算法在暴力搜索问题中，以 (O(\sqrt{N})) 的查询复杂度解决问题，相对于经典算法的 (O(N)) 复杂度，实现了二次级加速。
• 解决复杂问题的潜力 ：对于一些在经典计算中难以解决的问题，如搜索无序数据库、反转函数等，量子算法提供了新的解决方案。此外，暴力搜索问题涵盖了尝试解决 NP 类问题的场景，量子算法为解决这类复杂问题带来了希望。

3.2 面临的挑战

• 硬件实现困难 ：量子比特非常脆弱，容易受到外界环境的干扰，导致量子态的退相干。要实现大规模、稳定的量子计算硬件是目前面临的一大挑战。例如，要实现西蒙算法和格罗弗算法所需的多量子比特系统，需要精确控制和保护量子比特，以维持其量子特性。
• 算法优化与调整 ：虽然格罗弗算法在理论上实现了二次加速，但最终状态的角度可能不完全是 (\frac{\pi}{2})，成功概率可能不完全是 1。需要进一步研究和优化算法，以确保在实际应用中能够达到更高的准确性和效率。

4. 未来展望

4.1 应用领域拓展

• 密码学 ：量子算法可能会对现有的密码系统产生重大影响。例如，格罗弗算法可以加速对密码的暴力破解，这促使研究人员开发更安全的量子密码系统，以应对量子计算带来的威胁。
• 机器学习 ：量子算法在处理大规模数据和复杂计算时具有潜在优势。可以将量子算法应用于机器学习中的优化问题、聚类分析等，提高机器学习算法的效率和性能。
• 药物研发 ：在药物研发过程中，需要对大量的分子结构进行模拟和分析。量子算法可以更高效地处理这些复杂的计算任务，加速药物研发的进程。

4.2 技术发展趋势

• 量子硬件的改进 ：随着技术的不断进步，量子比特的稳定性和可控性将不断提高。未来可能会出现更多实用的量子计算机，能够支持更复杂的量子算法运行。
• 量子算法的创新 ：研究人员将继续探索新的量子算法，以解决更多类型的问题。同时，对现有算法的优化和改进也将是未来的研究重点。

总之，量子算法在解决秘密异或掩码问题和暴力搜索问题上已经展现出了巨大的潜力。虽然目前还面临着一些挑战，但随着技术的不断发展和研究的深入，量子算法有望在更多领域发挥重要作用，为推动科技进步和社会发展做出贡献。我们期待着量子计算时代的全面到来，见证量子算法带给我们的更多惊喜。