14、正常与反常动力学及分数动力学相关研究

正常与反常动力学及分数动力学相关研究

1. 正常与反常动力学

1.1 反常输运现象

在动力学研究中，一些系统的矩演化呈现非扩散特征，严格来说，不存在FPK型方程。模拟表明，$\langle R^2\rangle\sim t^{\mu_R}$，$\langle p^2\rangle\sim t^{\mu_p}$，其中指数$\mu_R$、$\mu_p$满足$1\leq\mu_R,\mu_p\lt2$，且依赖于参数$K$的值。这种由上述公式定义的二阶矩行为被称为反常输运、超扩散或反常扩散。在某些情况下，可能存在对应的指数$\mu\lt1$，即亚扩散。

当参数$K\lt1$时，标准映射（沿$x$方向）的随机层或随机网络中的动力学表现出扩散过程的特征强烈依赖于$K$值，既有正常扩散也有反常扩散。

1.2 具有q - 折叠对称性势中的动力学

在二维空间中，粒子运动的势可以具有$q$ - 折叠对称性，其对应的哈密顿量为：
$H = \frac{1}{2}(p_x^2 + p_y^2) + V_q(x, y)$
其中，势$V_q$的表达式为：
$V_q = \sum_{j = 1}^{q}\cos(kr \cdot e_j)$
这里$k = \frac{2\pi}{\ell}$定义了特征长度尺度$\ell$，$r = (x, y)$，$e_j$是形成规则星型的单位向量，$e_j = [\cos(\frac{2\pi j}{q}), \sin(\frac{2\pi j}{q})]$。

当$q = 4$时，势$V_4 = 2(\cos kx + \cos ky)$定义了正方形晶格对称性，对应的