13、多自由度系统与动力学方程中的物理现象解析

多自由度系统与动力学方程中的物理现象解析

1. 原子链的平衡问题

原子链的平衡问题在物理学中具有重要意义。当考虑原子链中原子的坐标(x_j)以及原子链的势能(\Phi(x_1, x_2, \cdots))时，其平衡条件为(\frac{\partial\Phi}{\partial x_j} = 0) ，((\forall j))。
通常，链势能可表示为每个原子势能之和：
(\Phi = \sum_{j = 1}^{\infty} \varphi_j(x_j, x_{j \pm 1}, \cdots, x_{j \pm k}))
其中(\varphi_j)是第(j)个原子的局部势能，依赖于与第(j)个原子最近的有限个原子的位移。最简单的情况是仅与最近邻粒子相互作用，此时(\varphi_j)的形式为：
(\varphi_j = \Psi(x_j - x_{j - 1}) + V(x_j))
这里，(\Psi)表示与邻居的相互作用势能，(V)对应于第(j)个位置的一般晶体场势能。

对(\varphi_j)应用平衡条件，可得到：
(\Psi_{j + 1}’ = \Psi_j’ + V’(x_j))
(\Psi_j = \Psi(x_j - x_{j - 1}))
引入新变量(P_j = x_j - x_{j - 1})，可将上述方程转化为迭代方程：
(P_{j + 1} = (\Psi’)^{-1}[\Psi_j’(P_j) + V’(x_j)])
(x_{j + 1} = x_j + P_{j + 1})
当(\Psi_j = \frac{1}{2}(x_j - x_{j - 1} - a)^2