28、黎曼流形中的连接、测地线与指数对数映射

黎曼流形中的连接、测地线与指数对数映射

1. 黎曼连接：Levi - Civita 连接

在黎曼流形 (M) 中，存在唯一的仿射连接 (\nabla) 满足以下两个条件：
- 对称性或无挠性 ：(\nabla_X Y - \nabla_Y X = [X, Y])
- 与度量的相容性 ：(Xg(Y, Z) = g(\nabla_X Y, Z) + g(Y, \nabla_X Z))，其中 (X, Y, Z \in \Gamma(TM))。

这个仿射连接被称为 Levi - Civita 连接或黎曼连接，可以使用 Koszul 公式计算：
[2g(\nabla_X Y, Z) = Xg(Y, Z) + Yg(X, Z) - Zg(X, Y) + g([X, Y], Z) - g([X, Z], Y) - g([Y, Z], X)]

在坐标图 ((U, \varphi)) 中，如果设 (\partial_k g_{ij} = \frac{\partial}{\partial x_k}(g_{ij}))，则 Christoffel 符号可以表示为：
[\Gamma_{ij}^k = \frac{1}{2} \sum_{l = 1}^{n} g^{kl} (\partial_i g_{jl} + \partial_j g_{il} - \partial_l g_{ij})]

并且，仿射连接 (\nabla) 无挠的充要条件是 (\Gamma_{ij}^k = \Gamma_{ji}^k)。

2. 距离、测地曲线和平行移动