29、机器人系统控制与执行器模型解析

机器人系统控制与执行器模型解析

1. 基于无源性的控制器

1.1 控制器推导基础

在机器人系统控制中，基于近似动态逆推导的控制器能形成一系列实用的控制策略，这些策略针对不同的性能指标进行设计。另一类受欢迎的控制器则依赖于矩阵 $\dot{M} + 2C$ 的斜对称性以及控制方程的相关无源性特性。自然系统的控制方程可写成如下形式：
$M(q)\ddot{q}(t) + C(q(t), \dot{q}(t))\dot{q} + \frac{\partial V}{\partial q} (q(t)) = \tau(t)$
对于该运动方程，矩阵 $\dot{M} - 2C$ 是斜对称的，即对于任意向量 $y$，恒有 $y^T(\dot{M} - 2C)y = 0$。定义跟踪误差为 $e(t) := q(t) - q_d(t)$。

1.2 基于无源性的控制器构建

通过引入滤波跟踪误差 $r$ 以及辅助变量 $v$ 和 $a$ 来构建基于无源性的控制器：
- $r(t) := \dot{e}(t) + \Lambda e(t)$
- $v(t) := \dot{q}_d(t) - \Lambda e(t)$
- $a(t) := \dot{v}(t) = \ddot{q}_d(t) - \Lambda\dot{e}(t)$
其中，$\Lambda$ 是一个正对角矩阵。基于无源性的控制器选择控制输入为：
$\tau = M(q)a + C(q, \dot{q})v + \frac{\partial V}{\partial q} (q) - Kr$
这里，$K$ 是一个正的对角增益矩阵。采用此控制输入 $\tau$ 后，闭环系统动力学由以下方程控制：
$M(\ddot{q} - \ddot{q}_d + \Lambda(\dot{q} - \dot{q}_d)) + C(\dot{q} - \dot{q}_d + \Lambda(q - q_d)) + Kr = 0$
即 $M\dot{r} + Cr + Kr = 0$。

1.3 稳定性定理

若机器人系统的运动方程具有上述形式，设 $q_d$ 是期望轨迹的 $N$ 维向量，分别按上述公式定义 $r$、$v$ 和 $a$，则反馈控制能使跟踪误差动力学在原点处的平衡渐近稳定。

证明过程依赖于合适的 Lyapunov 函数的选择，选取 $V$ 为：
$V = \frac{1}{2}r^TMr + e^T\Lambda Ke$
对系统轨迹求导可得：
$\dot{V} = r^TM\dot{r} + \frac{1}{2}r^T\dot{Mr} + 2e^T\Lambda K\dot{e}$
将闭环方程代入该式，可得到负定的导数 $\dot{V}$：
$\dot{V} = \frac{1}{2}r^T(\dot{M} - 2C)r - r^TKr + 2e^T\Lambda K\dot{e}$
由于矩阵 $\dot{M} - 2C$ 是斜对称的，上式右边第一项等于零。剩余表达式可简化为：
$\dot{V} = -(\dot{e} + \Lambda e)^TK(\dot{e} + \Lambda e) + 2e^T\Lambda K\dot{e} = -\dot{e}K\dot{e} - e^T\Lambda K\Lambda e$
这表明 $\dot{V}$ 是状态 ${e \dot{e}}^T$ 的负定函数，跟踪误差动力学在原点处的平衡是渐近稳定的。

1.4 示例分析

考虑一个球形机器人操作臂，选取系统参数 $m_1 = m_2 = m_3 = 10$ kg，$d_{p,q} = 0.1$ m，$y_{q,c2} = 0.05$ m。增益矩阵 $\Lambda$ 和 $K$ 采用 $\Lambda = \lambda I$ 和 $K = kI$ 的形式，增益选择为 $(\lambda, k) = (1, 10)$、$(2, 10)$、$(4, 10)$ 或 $(20, 100)$。期望轨迹为：
$q_d =
\begin{cases}
A_1 \sin(\Omega_1t) \
A_2 \sin(\Omega_2t) \
A_3 \sin(\Omega_3t) + 1
\end{cases}
$
其中，$(A_1, A_2, A_3) = (-\frac{1}{16}, -1, -\frac{1}{4})$，$(\Omega_1, \Omega_2, \Omega_3) = (4, 1, 2)$。
基于无源性原理的控制器形式为：
$\tau = Ma + Cv + \frac{\partial V}{\partial q} - Kr$
其中，
$M =
\begin{bmatrix}
m_3(d_{p,q}^2 + \sin^2\theta_2d_{q,r}^2) + m_2(d_{p,q} - y_{q,c2})^2 & m_3 \cos \theta_2d_{p,q}d_{q,r} & m_3 \sin \theta_2d_{p,q} \
m_3 \cos \theta_2d_{p,q}d_{q,r} & m_3d_{q,r}^2 & 0 \
m_3 \sin \theta_2d_{p,q} & 0 & m_3
\end{bmatrix}
$
$\frac{\partial V}{\partial q} =
\begin{cases}
0 \
m_3gd_{q,r} \sin \theta_2 \
-m_3g \cos \theta_2
\end{cases}
$
$C =
\begin{bmatrix}
\sin \theta_2m_3d_{q,r}(\cos \theta_2d_{q,r} \dot{\theta} 2 + \sin \theta_2 \dot{d} {q,r}) & m_3(\sin \theta_2d_{q,r}(\cos \theta_2d_{q,r} \dot{\theta} 1 - d {p,q} \dot{\theta} 2) + \cos \theta_2d {p,q} \dot{d} {q,r}) & m_3(d {q,r} \dot{\theta} 1\sin^2\theta_2 + \cos \theta_2d {p,q} \dot{\theta} 2) \
-\frac{1}{2} \sin 2\theta_2m_3d {q,r}^2 \dot{\theta} 1 & m_3d {q,r} \dot{d} {q,r} & m_3d {q,r} \dot{\theta} 2 \
-\sin^2\theta_2m_3d {q,r} \dot{\theta} 1 & -m_3d {q,r} \dot{\theta} 2 & 0
\end{bmatrix}
$
与使用理想计算扭矩控制实现非线性精确抵消的情况不同，所得的闭环系统方程既不解耦也不是线性的，无法像某些示例那样得到简单的闭环方程的解析解。不同反馈增益下的状态轨迹和控制输入时间历程图显示，$\theta_1(t)$ 和 $\theta_2(t)$ 具有良好的跟踪性能，而 $d {p,q}(t)$ 向期望轨迹的渐近收敛速度较慢。该控制器所需的输入权限在量级上与其他示例相似，输入扭矩 $m_2$ 的稳态幅值在 $\pm50$ N m 之间振荡，驱动力在 $t \to \infty$ 时在 $-50$ N 到 $-100$ N 之间变化，启动瞬态驱动力和力矩的幅值是其稳态幅值的几倍。

1.5 基于无源性控制器的流程总结

graph LR
    A[定义系统控制方程] --> B[计算跟踪误差 e]
    B --> C[引入滤波跟踪误差 r 和辅助变量 v、a]
    C --> D[确定控制器输入 τ]
    D --> E[得到闭环系统动力学方程]
    E --> F[选择 Lyapunov 函数证明稳定性]
    F --> G[进行示例分析与验证]

2. 执行器模型

2.1 执行器概述

现代机器人系统使用各种各样的执行器，包括传统的电动机、液压缸或气动活塞等。这些常见的执行器系统有许多变体和独特的设计，各有优缺点，可能需要定制的控制方程模型来描述其运行物理原理，并且每个执行器都可能表现出其特有的非线性特性，在建模和控制综合中必须加以考虑。此外，每年在机器人应用中都会出现越来越多新颖和非常规的执行器，如基于形状记忆合金、生物材料、电化学材料、电结构材料和磁结构材料的执行器。对替代系统的研究是由对更紧凑、轻便、高权限和高带宽执行器系统的需求所驱动的。

2.2 电动机基础

在所有可能的执行器设备中，电动机是机器人系统中最常见的。几乎所有的电动机都基于电磁感应原理运行，即载流导线在磁场中会受到力的作用。电动机通过让电流通过与外部磁场对齐的导线环，使力带动转子转动。电动机因其相对简单、响应速度快和启动扭矩大而受欢迎。电动机有许多不同的类型，包括直流（DC）、感应、同步、无刷和步进电动机等。这里主要关注永磁直流电动机的物理基础和控制方程推导。

2.3 永磁直流电动机原理

永磁直流电动机基于洛伦兹力定律工作。该定律表明，在磁场 $B$ 中，长度为 $l$、载有电流 $i$ 的导体所受的力 $f$ 为 $f = iln \times B$，其中 $n$ 是沿导线长度的单位向量。考虑一个在磁场 $B = By$ 中旋转的导线环，从 $c$ 到 $d$ 的导线所受的力为 $f = (ilx) \times (By) = ilBz$，从 $a$ 到 $b$ 的导线所受的力为 $f = -ilBz$，因此该导线环所受的净扭矩为 $t = (2rlB)ix = tx$，这个扭矩会使环绕 $x$ 轴逆时针旋转，直到环通过 $x - z$ 平面。为避免导线环旋转时扭矩符号反转，直流电动机使用换向器。实际的电动机绕组包含多个导线环，具有 $N$ 个环的绕组产生的总扭矩为 $t = (2NBrl)ix = tx$，可表示为 $t = k_ti$，其中 $k_t = (2NrlB)$ 是一个收集了电动机机电特性的扭矩常数。

2.4 反电动势与控制方程

当导体在磁场中移动时，会在导体两端产生电压，即反电动势（EMF）。根据法拉第定律，反电动势电压等于绕组中磁通量 $\lambda$ 的时间导数：
$e_b = -\frac{d}{dt} (\lambda)$
绕组中包含 $N$ 匝的磁通量 $\lambda$ 为 $\lambda = N\phi$，其中单匝的磁通量 $\phi$ 定义为 $\phi = \int B \times ndA$。计算可得 $\phi = 2Brl \cos \theta$，因此绕组两端产生的电压为 $e_b = (2NBrl \sin \theta) \dot{\theta} = k_b \dot{\theta}$，其中 $k_b$ 是电动机的反电动势常数。根据基尔霍夫电压定律，电枢电路的控制方程为：
$L \frac{di}{dt} + Ri + k_b \dot{\theta} = e_i$
其中，$L$ 是电枢电感，$R$ 是电枢电阻。电动机作用在电枢上的扭矩为 $t = k_ti$。

2.5 示例分析

2.5.1 关节 1 由直流电动机驱动的情况

假设球形机器人操作臂的关节 1 由直流电动机驱动，系统的运动方程为：
$M(q(t))\ddot{q} = n(q(t), \dot{q}(t)) + \tau$
其中，
$M(q) =
\begin{bmatrix}
m_3(d_{p,q}^2 + \sin^2\theta_2d_{q,r}^2) + m_2(d_{p,q} - y_{q,c2})^2 & m_3 \cos \theta_2d_{p,q}d_{q,r} & m_3 \sin \theta_2d_{p,q} \
m_3 \cos \theta_2d_{p,q}d_{q,r} & m_3d_{q,r}^2 & 0 \
m_3 \sin \theta_2d_{p,q} & 0 & m_3
\end{bmatrix}
$
$n(q, \dot{q}) =
\begin{cases}
-m_3(\sin \theta_2d_{q,r}(2 \sin \theta_2 \dot{\theta} 1 \dot{d} {q,r} - d_{p,q} \dot{\theta} 2^2) + 2 \cos \theta_2d {p,q} \dot{\theta} 2 \dot{d} {q,r} + \sin 2\theta_2 \dot{\theta} 1 \dot{\theta}_2d {q,r}^2) \
\frac{1}{2}m_3d_{q,r}(-4 \dot{\theta} 2 \dot{d} {q,r} + \sin 2\theta_2 \dot{\theta} 1^2d {q,r} - 2g \sin \theta_2) \
m_3(d_{q,r}(\dot{\theta} 2^2 + \sin^2\theta_2 \dot{\theta}_1^2) + g \cos \theta_2)
\end{cases}
$
$\tau = {t_1 t_2 f }^T$ 是执行器输入。
对于关节 1 由直流电动机驱动的情况，根据欧拉第二定律和基尔霍夫电压定律可得：
$J_1 \ddot{\theta}_1 = t {a1} - t_1$
$L_1 \frac{di_1}{dt} + R_1i_1 + k_{b1} \dot{\theta} 1 = e_1$
$t {a1} = k_{t1}i_1$
根据不同情况，系统的控制方程有所不同：
- 当 $J_{a1}$、$L_1$ 和 $R_1$ 不可忽略时，系统有四个微分方程，可表示为一个七维的非线性一阶方程组，状态为 $x = {\theta_1 \theta_2 d_{q,r} \dot{\theta} 1 \dot{\theta}_2 \dot{d} {q,r} i_1 }^T$，输入为电压 $e_1$。
- 若电感 $L_1$ 可忽略，可求解电流，系统控制方程可简化。
- 若电枢惯性可忽略，电动机施加在关节 1 上的扭矩等于磁场作用在电枢上的扭矩。

2.5.2 关节 2 由直流电动机驱动的情况

假设球形机器人操作臂的关节 2 由直流电动机驱动，系统的控制方程为：
$M(q(t))\ddot{q}(t) = n(q(t), \dot{q}(t)) + \tau$
引入直流电动机后，需要更新两个连杆的质量和惯性矩阵。同时，根据基尔霍夫电压定律和扭矩关系可得：
$L_2 \frac{di_2}{dt} + R_2i_2 + k_{b2} \dot{\theta} 2 = e_2$
$\tau_2 = k {t2}i_2$
包含关节 1 和关节 2 电动机模型的系统控制方程可写为：
$M(q)\ddot{q} = n(q, \dot{q}) +
\begin{cases}
0 \
0 \
f
\end{cases}
+
\begin{bmatrix}
k_{t1} & 0 \
0 & k_{t2} \
0 & 0
\end{bmatrix}
\begin{cases}
i_1 \
i_2
\end{cases}
$
$
\begin{bmatrix}
L_1 & 0 \
0 & L_2
\end{bmatrix}
\begin{cases}
\frac{di_1}{dt} \
\frac{di_2}{dt}
\end{cases}
+
\begin{bmatrix}
R_1 & 0 \
0 & R_2
\end{bmatrix}
\begin{cases}
i_1 \
i_2
\end{cases}
+
\begin{bmatrix}
k_{b1} & 0 \
0 & k_{b2}
\end{bmatrix}
\begin{cases}
\dot{\theta}_1 \
\dot{\theta}_2
\end{cases}
=
\begin{cases}
e_1 \
e_2
\end{cases}
$

2.6 电动机建模流程总结

graph LR
    A[明确电动机类型与原理] --> B[推导扭矩与反电动势公式]
    B --> C[根据基尔霍夫定律得到控制方程]
    C --> D[分析不同情况下的系统控制方程]
    D --> E[进行具体关节驱动示例分析]

综上所述，基于无源性的控制器为机器人系统提供了一种有效的控制方法，而执行器模型的研究则有助于更准确地描述机器人系统的运行特性，两者对于机器人系统的设计和控制都具有重要意义。通过具体的示例分析，我们可以更好地理解这些理论在实际应用中的表现和效果。

3. 基于无源性控制器与执行器模型的综合分析

3.1 两者的相互关系

基于无源性的控制器和执行器模型在机器人系统中是紧密相关的。基于无源性的控制器主要关注如何使机器人系统的跟踪误差动力学达到渐近稳定，从而实现对期望轨迹的良好跟踪。而执行器模型则描述了机器人系统中执行器的物理特性和运行规律，它为控制器提供了实际的控制输出能力。

从系统层面来看，控制器的输出（如控制输入 $\tau$）需要通过执行器来实现。例如，在基于无源性控制器的示例中，控制输入 $\tau$ 最终要通过电动机等执行器转化为实际的力或扭矩，从而驱动机器人的关节运动。而执行器的特性，如电动机的响应速度、扭矩输出能力等，又会影响控制器的实际控制效果。如果执行器的响应速度过慢，可能无法及时跟踪控制器发出的指令，导致系统的跟踪性能下降。

3.2 综合设计考虑因素

在进行机器人系统的综合设计时，需要同时考虑基于无源性的控制器和执行器模型。以下是一些需要考虑的因素：
- 执行器的带宽和响应速度 ：执行器的带宽和响应速度应与控制器的设计相匹配。如果控制器的设计要求快速响应，那么就需要选择带宽和响应速度较高的执行器。例如，在一些需要快速跟踪的机器人任务中，如高速抓取，就需要选择响应速度快的电动机作为执行器。
- 执行器的扭矩输出能力 ：执行器的扭矩输出能力应满足控制器的控制需求。在基于无源性控制器的设计中，控制输入 $\tau$ 可能会有一定的幅值要求，执行器需要能够提供足够的扭矩来实现这些控制输入。如果执行器的扭矩输出能力不足，可能会导致系统无法达到期望的运动状态。
- 控制器的鲁棒性 ：由于执行器可能存在非线性特性和不确定性，控制器需要具有一定的鲁棒性。在基于无源性控制器的设计中，可以通过合理选择 Lyapunov 函数和增益矩阵来提高控制器的鲁棒性，以应对执行器的非线性和不确定性。

3.3 综合设计流程

graph LR
    A[确定机器人系统任务和性能要求] --> B[设计基于无源性的控制器]
    B --> C[选择合适的执行器模型]
    C --> D[考虑两者相互关系进行参数调整]
    D --> E[进行系统仿真和实验验证]
    E --> F{是否满足要求}
    F -- 是 --> G[完成设计]
    F -- 否 --> B

4. 应用案例分析

4.1 工业机器人焊接应用

在工业机器人焊接应用中，需要机器人精确地跟踪焊接轨迹，同时执行器要能够提供稳定的力和速度控制。基于无源性的控制器可以用于设计机器人的运动控制策略，使机器人能够准确地跟踪焊接轨迹。而执行器模型则可以帮助选择合适的电动机和驱动系统，以满足焊接过程中的力和速度要求。

例如，在一个六轴工业机器人焊接系统中，基于无源性的控制器可以根据焊接轨迹的期望位置和速度，计算出每个关节的控制输入 $\tau$。然后，通过选择合适的直流电动机作为执行器，将控制输入转化为实际的扭矩，驱动机器人关节运动。在这个过程中，需要考虑电动机的扭矩输出能力、响应速度和效率等因素，以确保机器人能够高效、稳定地完成焊接任务。

4.2 服务机器人导航应用

在服务机器人导航应用中，机器人需要在复杂的环境中自主导航，这就要求机器人的运动控制和执行器具有良好的性能。基于无源性的控制器可以用于设计机器人的路径跟踪控制策略，使机器人能够沿着规划的路径准确移动。执行器模型则可以帮助选择合适的驱动轮和电机，以实现机器人的灵活运动。

例如，在一个室内服务机器人导航系统中，基于无源性的控制器可以根据机器人的当前位置和规划的路径，计算出驱动轮的控制输入。然后，通过选择合适的直流无刷电机作为执行器，将控制输入转化为驱动轮的转速和扭矩，实现机器人的导航运动。在这个过程中，需要考虑电机的启动扭矩、调速范围和能耗等因素，以确保机器人能够在复杂环境中高效、可靠地运行。

4.3 应用案例对比分析

应用场景	控制目标	执行器要求	基于无源性控制器作用
工业机器人焊接	精确跟踪焊接轨迹	高扭矩输出、稳定速度控制	计算控制输入，使机器人准确跟踪轨迹
服务机器人导航	在复杂环境中自主导航	灵活运动、低能耗	设计路径跟踪策略，实现准确移动

5. 未来发展趋势

5.1 控制器设计的发展趋势

• 智能化与自适应 ：未来的基于无源性控制器将更加智能化和自适应。它可以根据机器人系统的实时状态和环境变化，自动调整控制参数，以提高系统的性能和鲁棒性。例如，通过引入机器学习算法，使控制器能够学习系统的动态特性和环境信息，从而实现自适应控制。
• 多目标优化 ：除了实现跟踪误差的渐近稳定，未来的控制器设计还将考虑更多的目标，如能量优化、运动平滑性等。通过多目标优化算法，使控制器能够在多个目标之间进行权衡，以实现更优的控制效果。

5.2 执行器模型的发展趋势

• 新型执行器的应用 ：随着材料科学和技术的发展，越来越多的新型执行器将应用于机器人系统中。如基于形状记忆合金、生物材料的执行器，它们具有体积小、重量轻、能量密度高的优点，将为机器人系统的设计带来更多的可能性。
• 执行器与控制器的一体化设计 ：未来的执行器和控制器将朝着一体化设计的方向发展。通过将控制器集成到执行器中，可以减少系统的体积和复杂度，提高系统的响应速度和可靠性。

5.3 综合系统的发展趋势

• 人机协作与共融 ：未来的机器人系统将更加注重人机协作与共融。基于无源性控制器和执行器模型的综合设计将考虑如何更好地实现人机协作，如通过设计更加安全、灵活的控制策略和执行器，使机器人能够与人类在同一工作空间中安全、高效地协作。
• 网络化与分布式控制 ：随着物联网和通信技术的发展，机器人系统将朝着网络化和分布式控制的方向发展。多个机器人可以通过网络进行通信和协作，基于无源性的控制器和执行器模型可以在分布式系统中实现协同控制，以完成更复杂的任务。

6. 总结与建议

6.1 总结

本文详细介绍了基于无源性的控制器和执行器模型在机器人系统中的应用。基于无源性的控制器通过引入滤波跟踪误差和辅助变量，设计控制输入，利用 Lyapunov 函数证明了其能使跟踪误差动力学达到渐近稳定。执行器模型则涵盖了多种类型的执行器，重点介绍了永磁直流电动机的原理和控制方程。两者在机器人系统中相互关联，综合设计时需要考虑执行器的特性和控制器的鲁棒性等因素。通过工业机器人焊接和服务机器人导航等应用案例分析，展示了两者在实际应用中的重要性。同时，探讨了未来的发展趋势，包括控制器的智能化、执行器的新型化以及综合系统的人机协作和网络化等方面。

6.2 建议

• 对于研究人员 ：在研究基于无源性的控制器和执行器模型时，可以深入探索两者的相互作用机制，开展多学科交叉研究，结合新型材料和算法，推动机器人系统控制技术的发展。
• 对于工程师 ：在进行机器人系统设计时，要充分考虑基于无源性的控制器和执行器模型的综合设计，根据具体的应用场景和性能要求，选择合适的控制器参数和执行器类型。同时，要注重系统的实验验证和优化，提高系统的可靠性和性能。
• 对于企业 ：企业应加大对机器人技术的研发投入，关注新型执行器和控制算法的发展，推动机器人产品的升级换代。同时，要加强与科研机构的合作，培养高素质的技术人才，提高企业的核心竞争力。