49、从命题投影时态逻辑（PPTL）到单后继一元二阶逻辑（S1S）的转换

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从命题投影时态逻辑（PPTL）到单后继一元二阶逻辑（S1S）的转换

1. 引言

线性时态逻辑可分为基于状态和基于区间的逻辑两类。基于状态的线性时态逻辑中，最著名的是线性时态逻辑（LTL）及其变体；而基于区间的时态逻辑中，研究最广泛的是区间时态逻辑（ITL）和投影时态逻辑（PTL）。

目前，LTL 已广泛应用于并发系统的规范和验证，尤其是在模型检查中，它是重要的属性规范语言。这得益于命题 LTL（PLTL）早期在理论方面的研究，特别是可判定性结果。然而，基于区间的时态逻辑虽然在规范方面更具表达力和便利性，但由于可判定性问题，尚未广泛应用于并发系统的规范和验证。

在基于区间的时态逻辑领域，许多研究者对逻辑的可判定性进行了各种扩展研究。例如，Rosner 和 Pnueli 证明了带有 chop 运算符的 Choppy Logic 的可判定性；Halpern 和 Moszkowski 证明了命题区间时态逻辑（PITL）的可满足性是不可判定的，但量化命题 ITL（QPITL）在有限时间上是可判定的。

由于许多反应式系统设计为不终止，因此需要具有无限模型的区间时态逻辑的可判定性，以进行系统验证。Duan、Tian 和 Zhang 证明了具有无限模型的命题投影时态逻辑（PPTL）的可判定性。

已知 PLTL 等价于一阶逻辑（FOL），因此 FOL 的一些理论结果可自动被 PLTL 继承。那么，是否存在一种广泛研究的逻辑与 PPTL 等价呢？答案是肯定的，单后继一元二阶逻辑（S1S）就是这样一种逻辑。S1S 具有完整正则表达式的表达能力，其可判定性结果由 B¨uchi 通过将 S1S 公式转换为 B¨uchi 自动机的符号表示给出。如果任何 PPTL 公式都能等价转换为 S1S 公式，那么 S1S 的一些成熟理论和技术结果，如决策过程等，就可以被 PPTL 和 PITL 继承。

2. 命题投影时态逻辑（PPTL）

2.1 语法

PPTL 公式 $P$ 基于可数的原子命题集 $Prop$，通过以下语法规则归纳定义：
$P ::= p | ¬P | P ∨Q | ⃝P | P∗| (P1, …, Pm)pr jQ$
其中，$p \in Prop$；$⃝$、$∗$ 和 $pr j$ 是基本时态运算符。

2.2 语义

状态和区间 ：状态 $s$ 是从 $Prop$ 到 ${true, false}$ 的映射，即 $s : Prop \to {true, false}$，用 $s[p]$ 表示命题 $p$ 在状态 $s$ 下的赋值。区间 $\sigma$ 是一个非空的状态序列，可以是有限或无限的。区间 $\sigma$ 的长度 $|\sigma|$，若 $\sigma$ 是无限的，则 $|\sigma| = \omega$；若 $\sigma$ 是有限的，则 $|\sigma|$ 是状态数减 1。
投影：设 $\sigma =< s_0, s_1, …, s_{|\sigma|} >$ 是一个区间，$r_1, …, r_h$ 是整数（$h \geq 1$），且 $0 \leq r_1 \leq r_2 \leq … \leq r_h \preceq |\sigma|$。$\sigma$ 在 $r_1, …, r_h$ 上的投影 $\sigma \downarrow (r_1, …, r_h)$ 是一个区间，通过删除 $r_1, …, r_h$ 中的所有重复项得到。
满足关系 ：解释 $I = (\sigma, k, j)$，其中 $\sigma$ 是区间，$k$ 是整数，$j$ 是整数或 $\omega$，且 $k \preceq j \leq |\sigma|$。满足关系 $(\models)$ 归纳定义如下：
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models p$ 当且仅当 $s_k[p] = true$，对于任何命题 $p$。
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models ¬P$ 当且仅当 $I \not\models P$。
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models P \vee Q$ 当且仅当 $I \models P$ 或 $I \models Q$。
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models ⃝P$ 当且仅当 $k < j$ 且 $(\sigma, k + 1, |\sigma|) \models P$。
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models P∗$ 当且仅当 $|\sigma| = 0$ 或存在 $k_0 = 0 \leq k_1 \leq … \preceq k_m = |\sigma|$，使得 $(\sigma, k_i, k_{i+1}) \models P$ 对于所有 $i$，$0 \leq i < m$。
- $(\sigma, k, |\sigma|) \models (P_1, …, P_m) pr j Q$ 当且仅当存在整数 $k = r_0 \leq r_1 \leq … \leq r_m \leq j$，使得 $(\sigma, r_0, r_1) \models P_1$，$(\sigma, r_{l-1}, r_l) \models P_l$，$1 < l \leq m$，并且对于以下 $\sigma’$ 之一，$(\sigma’, 0, |\sigma’|) \models Q$：
  - (a) $r_m < j$，$\sigma’ = \sigma \downarrow (r_0, …, r_m) \cdot \sigma(r_{m+1}.. j)$。
  - (b) $r_m = j$，$\sigma’ = \sigma \downarrow (r_0, …, r_h)$ 对于某些 $0 \leq h \leq m$。

2.3 派生公式

还定义了一些派生公式，如：
- $empty \stackrel{def}{=} ¬ ⃝true$
- $more \stackrel{def}{=} ¬empty$
- $⃝^0 P \stackrel{def}{=} P$
- $⃝^nP \stackrel{def}{=} ⃝(⃝^{n-1}P)$
- $len(n) \stackrel{def}{=} ⃝^n empty$
- $skip \stackrel{def}{=} len(1)$
- $\lozenge P \stackrel{def}{=} empty \vee ⃝P$
- $P; Q \stackrel{def}{=} (P, Q) pr j empty$
- $\Diamond P \stackrel{def}{=} true; P$
- $\Box P \stackrel{def}{=} ¬\Diamond¬P$
其中，$\Box$（总是）、$\Diamond$（有时）和 $;$（chop）是派生时态运算符；$empty$ 表示长度为零的区间；$more$ 表示当前状态不是区间上的最后一个状态。

2.4 可满足性和有效性

公式 $P$ 被区间 $\sigma$ 满足，记为 $\sigma \models P$，当且仅当 $(\sigma, 0, |\sigma|) \models P$。
公式 $P$ 是可满足的，如果存在 $\sigma$ 使得 $\sigma \models P$。
公式 $P$ 是有效的，记为 $\models P$，如果对于所有 $\sigma$ 都有 $\sigma \models P$。

需要注意的是，PPTL 中没有投影（但 chop 作为基本运算符包含在内）的子集是 1995 年给出的命题区间时态逻辑（PITL），它是在 1994 年 PPTL 出现后，将原有限模型的 PITL 扩展到无限模型。

3. 单后继一元二阶逻辑（S1S）

3.1 语法

设 $V_1 = {x, y, …}$ 是可数的一阶变量集，$V_2 = {X, Y, …}$ 是可数的二阶变量集。项 $t$ 和公式 $\phi$ 归纳定义如下：
- $t ::= 0 | x | Suc(t)$
- $\phi ::= t \in X | t_1 = t_2 | ¬\phi | \phi_0 \vee \phi_1 | \exists x.\phi | \exists X.\phi$
其中，$Suc(t) = t + 1$。

3.2 语义

一阶变量 $x$ 在 $N_{\omega}$ 上解释，即 $I_1 : V_1 \to N_{\omega}$；二阶变量解释为 $N_{\omega}$ 的子集，即 $I_2 : V_2 \to 2^{N_{\omega}}$。
项或公式的解释是 $I_{I_1,I_2} =< m_1, …, m_k, M_1, …, M_l >$，其中 $m_i \in N_{\omega}$，$1 \leq i \leq k$，$M_j \in 2^{N_{\omega}}$，$1 \leq j \leq l$。
项 $t$ 相对于解释 $I_{I_1,I_2}$ 的求值 $I_{I_1}[t]$ 归纳定义如下：
- $I_{I_1}[0] = 0$
- $I_{I_1}[x] = I_1(x)$
- $I_{I_1}[Suc(t)] = I_{I_1}[t] + 1$
公式的满足关系 $(\models)$ 归纳定义如下：
- $I_{I_1,I_2} \models t \in X$ 当且仅当 $I_{I_1}[t] \in I_2(X)$。
- $I_{I_1,I_2} \models t_1 = t_2$ 当且仅当 $I_{I_1}[t_1] = I_{I_1}[t_2]$。
- $I_{I_1,I_2} \models ¬\phi$ 当且仅当 $I_{I_1,I_2} \not\models \phi$。
- $I_{I_1,I_2} \models \phi_1 \vee \phi_2$ 当且仅当 $I_{I_1,I_2} \models \phi_1$ 或 $I_{I_1,I_2} \models \phi_2$。
- $I_{I_1,I_2} \models \exists x.\phi$ 当且仅当存在 $a \in N_{\omega}$，使得 $I’ 1(y) = \begin{cases} I_1(y), & \text{如果 } y \neq x \ a, & \text{否则} \end{cases}$ 并且 $I {I’_1,I_2} \models \phi$。
- $I_{I_1,I_2} \models \exists X.\phi$ 当且仅当存在 $A \in 2^{N_{\omega}}$，使得 $I’ 2(Y) = \begin{cases} I_2(Y), & \text{如果 } Y \neq X \ A, & \text{否则} \end{cases}$ 并且 $I {I_1,I’_2} \models \phi$。

3.3 派生公式

还定义了一些派生公式，如：
- $\forall X.\phi \stackrel{def}{=} ¬\exists X.¬\phi$
- $x \notin Y \stackrel{def}{=} ¬(x \in Y)$
- $x \neq y \stackrel{def}{=} ¬(x = y)$
- $X \subseteq Y \stackrel{def}{=} \forall z.(z \in X \to z \in Y)$
- $X = Y \stackrel{def}{=} X \subseteq Y \wedge Y \subseteq X$
- $Suﬀ(X) \stackrel{def}{=} \forall y.(y \in X \to Suc(y) \in X)$
- $x \leq y \stackrel{def}{=} \forall Z.(x \in Z \wedge Suﬀ(Z) \to y \in Z)$
- $Min(X) = x \stackrel{def}{=} x \in X \wedge ¬\exists y.(y \in X \wedge y < x)$
- $Max(X) = x \stackrel{def}{=} x \in X \wedge ¬\exists y.(y \in X \wedge y > x)$
- $x \preceq y \stackrel{def}{=} (y \neq \omega \to x \leq y) \wedge (y = \omega \to x < y)$
- $Con(K, k_m, k_n) \stackrel{def}{=} K \subseteq N_{\omega} \wedge (k_m, k_n \in K) \wedge k_m \leq k_n \wedge ¬\exists k_l \in K \wedge (k_m < k_l < k_n)$

3.4 可满足性和有效性

S1S 公式 $\phi(x_1, …, x_k, X_1, …, X_l)$ 被 $I_{I_1,I_2}$ 满足，记为 $I_{I_1,I_2} \models \phi(x_1, …, x_k, X_1, …, X_l)$，当且仅当 $\phi(m_1, …, m_k, M_1, …, M_l)$ 为真。
公式 $\phi$ 是可满足的，如果存在 $I_{I_1,I_2}$ 使得 $I_{I_1,I_2} \models \phi(x_1, …, x_k, X_1, …, X_l)$。
公式 $\phi$ 是有效的，记为 $\models \phi$，如果对于所有 $I_{I_1,I_2}$ 都有 $I_{I_1,I_2} \models \phi(x_1, …, x_k, X_1, …, X_l)$。

4. 从 PPTL 到 S1S 的转换

4.1 从区间到 T - 结构

区间可以定义为状态序列，每个状态是一组在该状态下成立的命题。从另一个角度看，状态序列可以用一个集合 $N$ 表示，该集合包含序列中所有状态的下标。命题可以看作是一个集合，包含在区间上该命题成立的状态的下标。

对于给定的区间 $\sigma =< s_0, s_1, … >$ 和命题 $p$，定义：
$N = \begin{cases} {0, 1, …, i}, & \text{如果 } |\sigma| \neq \omega \text{ 且 } \sigma \text{ 中的最后一个状态是 } s_i \ N_{\omega}, & \text{否则} \end{cases}$
$Set(p, \sigma) = \begin{cases} {i | s_i[p] = true, i \in N_0}, & \text{如果 } |\sigma| \neq \omega \ {i | s_i[p] = true, i \in N_0} \cup {\omega}, & \text{否则} \end{cases}$

现在，将区间表示为 T - 结构 $T =< i, j, N, P >$，其中 $i, j \in N_{\omega}$，$N \subseteq N_{\omega}$，$P \subseteq 2^N$。函数 $\Theta : \Sigma \to T$ 定义为将区间 $\sigma$ 映射到 T - 结构。对于区间 $\sigma(i.. j)$，$\Theta(\sigma(i.. j)) =< i, j, N, P >$，其中 $P$ 是一组二阶变量，通过区间 $\sigma(i.. j)$ 中出现的命题重命名得到。函数 $\theta : Prop \to P$ 用于将命题 $p \in Prop$ 重命名为 S1S 中的二阶变量，$\theta(p) = X_p$。

例如，对于 $\sigma =< {p}, {p, q}, {p, q}, {q}, {q}, {p}, {p}, {p}, {p}, … >$，其中对于 $i = 0, 1, 2$ 和 $i \geq 5$，$i \in N_0$，$s_i[p] = true$，对于 $i = 1, 2, 3$ 和 $4$，$s_i[q] = true$，则 $\Theta(\sigma(0..\omega)) = < 0, \omega, N = N_{\omega}, {X_p = {\omega, 0, 1, 2, 5, 6, 7, 8, …}, X_q = {1, 2, 3, 4}} >$。

4.2 PPTL 公式在 T - 结构上的解释

PPTL 公式在 T - 结构上的解释如下：
- $< i, j, N, P > \models_T p$ 当且仅当 $\theta(p) \in P$ 且 $i \in Set(p, \sigma(i.. j))$。
- $< i, j, N, P > \models_T ¬P$ 当且仅当 $< i, j, N, P > \not\models_T P$。
- $< i, j, N, P > \models_T P \vee Q$ 当且仅当 $< i, j, N, P > \models_T P$ 或 $< i, j, N, P > \models_T Q$。
- $< i, j, N, P > \models_T ⃝P$ 当且仅当 $i < j$ 且 $< i + 1, j, N \setminus {i}, P > \models_T P$。
- $< i, j, N, P > \models_T P; Q$ 当且仅当存在 $k \in N$，$i \leq k \preceq j$，使得 $< i, k, {i, …, k}, P > \models_T P$ 且 $< k, j, {k, …, j}, P > \models_T Q$。
- $< i, j, N, P > \models_T P∗$ 当且仅当 $i = j$ 或存在 $k_0, k_1, …, k_m \in N$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \preceq k_m = j$ 且 $< k_l, k_{l+1}, N, P > \models_T P$ 对于所有 $0 \leq l < m$。
- $< i, j, N, P > \models_T (P_1, …, P_m) pr j Q$ 当且仅当存在 $M = {k_0, …, k_m} \subseteq N$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \leq k_m \leq j$，$< k_{l-1}, k_l, {k_{l-1}, …, k_l}, P > \models_T P_l$ 对于所有 $0 < l \leq m$，并且：
- (a) 如果 $k_m < j$，$< k_0, j, N’, P > \models_T Q$ 且 $N’ = M \cup {k_m + 1, k_m + 2, …, j}$。
- (b) 如果 $k_m = j$，$< k_0, k_m, N’, P > \models_T Q$ 且 $N’ = M$。

4.3 定理证明

定理 1：对于任何 $\sigma(i.. j) \in \Sigma$ 和任何 PPTL 公式 $P$，$\Theta(\sigma(i.. j)) =< i, j, N, P > \models_T P$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P$。
证明：通过对 PPTL 公式的结构进行归纳证明。
- 基础情况 ：$< i, j, N, P > \models_T p$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models p$。
- $< i, j, N, P > \models_T p$ 当且仅当 $\theta(p) \in P$ 且 $i \in \theta(p)$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当 $s_i[p] = true$（根据 $P$ 的定义）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models p$（根据 $\models$ 的定义）。
- 归纳步骤 ：假设对于 PPTL 中的任何公式 $P$ 和 $Q$，$< i, j, N, P > \models_T P$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P$，$< i, j, N, P > \models_T Q$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models Q$。
- 否定：$< i, j, N, P > \models_T ¬P$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models ¬P$。
- $< i, j, N, P > \models_T ¬P$ 当且仅当 $< i, j, N, P > \not\models_T P$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \not\models P$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models ¬P$（根据 $\models$ 的定义）。
- 析取：$< i, j, N, P > \models_T P \vee Q$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P \vee Q$。
- $< i, j, N, P > \models_T P \vee Q$ 当且仅当 $< i, j, N, P > \models_T P$ 或 $< i, j, N, P > \models_T Q$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P$ 或 $\sigma(i.. j) \models Q$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P \vee Q$（根据 $\models$ 的定义）。
- Next ：$< i, j, N, P > \models_T ⃝P$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models ⃝P$。
- $< i, j, N, P > \models_T ⃝P$ 当且仅当 $i < j$ 且 $< i + 1, j, N \setminus {i}, P > \models_T P$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当 $\sigma(i+1.. j) \models P$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models ⃝P$（根据 $\models$ 的定义）。
- Chop ：$< i, j, N, P > \models_T P; Q$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P; Q$。
- $< i, j, N, P > \models_T P; Q$ 当且仅当存在 $k \in N$，$i \leq k \preceq j$，使得 $< i, k, {i, …, k}, P > \models_T P$ 且 $< k, j, {k, …, j}, P > \models_T Q$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当存在 $k \in N$，$i \leq k \preceq j$，使得 $\sigma(i..k) \models P$ 且 $\sigma(k.. j) \models Q$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P; Q$（根据 $\models$ 的定义）。
- Chop star ：$< i, j, N, P > \models_T P∗$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P∗$。
- $< i, j, N, P > \models_T P∗$ 当且仅当 $i = j$ 或存在 $k_0, k_1, …, k_m \in N_{\omega}$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \preceq k_m = j$ 且 $< k_l, k_{l+1}, {k_l, …, k_{l+1}}, P > \models_T P$ 对于所有 $0 \leq l < m$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当 $i = j$ 或存在 $k_0, k_1, …, k_m \in N_{\omega}$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \preceq k_m = j$ 且 $\sigma(k_l..k_{l+1}) \models P$ 对于所有 $0 \leq l < m$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models P∗$（根据 $\models$ 的定义）。
- 投影：$< i, j, N, P > \models_T (P_1, …, P_m) pr j Q$ 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models (P_1, …, P_m) pr j Q$。
- $< i, j, N, P > \models_T (P_1, …, P_m) pr j Q$ 当且仅当存在 $M = {k_0, …, k_m} \subseteq N$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \leq k_m = j$，$< k_{l-1}, k_l, {k_{l-1}, …, k_l}, P_l > \models_T P_l$ 对于所有 $0 < l \leq m$，并且：
- (a) 如果 $k_m = j$，$< k_0, k_m, N’, P’ > \models_T Q$ 且 $N’ = M$。
- (b) 如果 $k_m < j$，$< k_0, j, N’, P’ > \models_T Q$ 且 $N’ = M \cup {k_m + 1, k_m + 2, …, j}$（根据 $\models_T$ 的定义）。
- 当且仅当存在 $M = {k_0, …, k_m} \subseteq N$，使得 $i = k_0 \leq k_1 \leq … \leq k_m = j$，$\sigma(k_{l-1}..k_l) \models P_l$ 对于所有 $0 < l \leq m$，并且：
- (a) 如果 $k + m = j$，$\sigma(i.. j) \downarrow (k_0, …, k_m) \models Q$。
- (b) 如果 $k_m < j$，$\sigma(i.. j) \downarrow (k_0, …, k_m) \cdot \sigma(k_{m+1}.. j) \models Q$（根据假设）。
- 当且仅当 $\sigma(i.. j) \models (P_1, …, P_m) pr j Q$（根据 $\models$ 的定义）。

4.4 转换函数

现在，给出将在区间 $\sigma_{i.. j}$ 上解释的 PPTL 公式 $P$ 转换为 S1S 公式的函数：

toS1S (i, j, N, p) = N ⊆ Nω ∧ i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ ∃Xp.(Xp ⊆ N ∧ i ∈ Xp))
toS1S (i, j, N, ¬P) = ¬toS1S (i, j, N, P)
toS1S (i, j, N, P ∨ Q) = toS1S (i, j, N, P) ∨ toS1S (i, j, N, Q)
toS1S (i, j, N, ⃝P) = N ⊆ Nω ∧ i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ i < j ∧ toS1S (i + 1, j, N \ {i}, P)
toS1S (i, j, N, P; Q) = N ⊆ Nω ∧ i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ ∃k.(k ∈ N ∧ k ≥ i ∧ k ⪯ j ∧
    toS1S (i, k, N \ {k + 1, ..., j}, P) ∧ toS1S (k, j, N \ {i, ..., k - 1}, Q))
toS1S (i, j, N, P∗) = N ⊆ Nω ∧ i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧
    ∃K.(K ⊆ N ∧ j = Max(K) ∧ i = Min(K) ∧ ((i = j) ∨
    ∀km, kn ∈ K.(Con(K, km, kn) → toS1S (km, kn, {km, ..., kn}, P)))
toS1S (i, j, N, (P1, ..., Pm) pr j Q) = N ⊆ Nω ∧ i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧
    ∃K.(K ⊆ N ∧ Max(K) ≤ j ∧ i = Min(K) ∧
    ∀kl−1, kl ∈ K.(Con(K, kl−1, kl) → (toS1S (kl−1, kl, {kl−1...kl}, Pl)) ∧
    ((Max(K) < j) → (toS1S (i, j, K ∪ {Max(K) + 1...j}, Q)))
    ((Max(K) = j) → (toS1S (i, Max(K), K, Q)))))

定理 2：对于任何公式 $P$，$\sigma(i.. j) \models P$ 当且仅当 $< i, j, {i, …, j}, P > \models toS1S (i, j, {i, …, j}, P)$。
证明：由定理 1 可知，$\sigma(i.. j) \models_T P$ 当且仅当 $< i, j, {i, …, j}, P > \models_T P$。所以，需要进一步证明 $< i, j, {i, …, j}, P > \models_T P$ 当且仅当 $< i, j, {i, …, j}, P > \models toS1S (i, j, {i, …, j}, P)$。证明基于 PPTL 公式在 T - 结构上的语义，并对 PPTL 公式进行归纳。

4.5 转换示例

例如，将 $\bigcirc p; q$ 转换为 S1S 公式：

Tr(⃝p; q) = ∃i, j, N. ((i ∈ N0 ∧ j ∈ Nω ∧ N ⊆ Nω) ∧ toS1S (i, j, N, ⃝p; q))
= ∃i, j, N. ((i ∈ N0 ∧ j ∈ Nω ∧ N ⊆ Nω) ∧
    (i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ ∃k.(k ∈ N ∧ k ≥ i ∧ k ⪯ j ∧
    toS1S (i, k, {i, ..., k}, ⃝p) ∧ toS1S (k, j, {k, ..., j}, q))))
= ∃i, j, N. ((i ∈ N0 ∧ j ∈ Nω ∧ N ⊆ Nω) ∧
    (i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ ∃k.(k ∈ N ∧ k ≥ i ∧ k ⪯ j ∧
    ({i, ..., k} ⊆ Nω ∧ i = Min({i, ..., k}) ∧ k = Max({i, ..., k}) ∧ i < k ∧
    toS1S (i + 1, k, {i, ..., k} \ {i}, p)) ∧
    ({k, ..., j} ⊆ Nω ∧ k = Min({k, ..., j}) ∧ j = Max({k, ..., j}) ∧
    ∃Xp.(Xp ⊆ {k, ..., j} ∧ k ∈ Xp)))))
= ∃i, j, N. ((i ∈ N0 ∧ j ∈ Nω ∧ N ⊆ Nω) ∧
    (i = Min(N) ∧ j = Max(N) ∧ ∃k.(k ∈ N ∧ k ≥ i ∧ k ⪯ j ∧
    ({i, ..., k} ⊆ Nω ∧ i = Min({i, ..., k}) ∧ k = Max({i, ..., k}) ∧ i < k ∧
    ({i + 1, ..., k} ⊆ Nω ∧ i + 1 = Min({i + 1, ..., k}) ∧ k = Max({i + 1, ..., k}) ∧
    ∃Xp.(Xp ⊆ {i + 1, ..., k} ∧ i + 1 ∈ Xp)))) ∧
    ({k, ..., j} ⊆ Nω ∧ k = Min({k, ..., j}) ∧ j = Max({k, ..., j}) ∧
    ∃Xp.(Xp ⊆ {k, ..., j} ∧ k ∈ Xp))))

综上所述，通过将 PPTL 公式转换为 S1S 公式，可以使 PPTL 和 PITL 继承 S1S 的一些成熟理论和技术结果，为基于区间的时态逻辑在并发系统验证中的应用提供了新的途径。

以下是区间到 T - 结构转换的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[区间 σ] --> B[定义 N 和 Set(p, σ)];
    B --> C[构建 T - 结构 T =< i, j, N, P >];
    C --> D[函数 Θ 映射];
    D --> E[得到 Θ(σ(i.. j))];

以下是 PPTL 公式转换为 S1S 公式的步骤列表：
1. 对 PPTL 公式进行结构分析。
2. 根据转换函数 toS1S 对不同结构的 PPTL 公式进行转换。
3. 对于复杂公式，逐步展开转换过程。
4. 最终得到对应的 S1S 公式。

通过以上方法，可以实现 PPTL 到 S1S 的有效转换，从而利用 S1S 的成熟理论和技术解决 PPTL 的可判定性等问题。

5. 转换的意义和应用

5.1 继承 S1S 的理论和技术成果

将 PPTL 公式转换为 S1S 公式的主要意义在于，PPTL 和 PITL 可以继承 S1S 的许多成熟理论和技术结果。S1S 具有完整正则表达式的表达能力，其可判定性结果已经由 B¨uchi 通过将 S1S 公式转换为 B¨uchi 自动机的符号表示给出。因此，通过这种转换，PPTL 和 PITL 也可以利用这些结果来解决自身的可判定性问题。

例如，在并发系统的验证中，可判定性是一个关键问题。由于许多反应式系统设计为不终止，需要具有无限模型的区间时态逻辑的可判定性。通过将 PPTL 转换为 S1S，我们可以利用 S1S 的决策过程来验证 PPTL 公式，从而为并发系统的验证提供更有效的方法。

5.2 在模型检查中的应用

模型检查是一种广泛应用于并发系统验证的技术。在模型检查中，需要对系统的属性进行规范，并检查系统模型是否满足这些属性。LTL 已经成为模型检查中重要的属性规范语言，但基于区间的时态逻辑在规范方面更具表达力和便利性。

通过将 PPTL 转换为 S1S，我们可以将基于区间的时态逻辑应用于模型检查。具体步骤如下：
1. 系统建模 ：使用合适的模型来表示并发系统，如状态机、Petri 网等。
2. 属性规范 ：使用 PPTL 公式来规范系统的属性。
3. 转换为 S1S ：将 PPTL 公式转换为 S1S 公式。
4. 模型检查 ：使用 S1S 的决策过程来检查系统模型是否满足转换后的 S1S 公式。

以下是一个简单的表格，总结了 PPTL 转换为 S1S 在模型检查中的应用步骤：
|步骤|描述|
|----|----|
|系统建模|使用合适的模型表示并发系统|
|属性规范|使用 PPTL 公式规范系统属性|
|转换为 S1S|将 PPTL 公式转换为 S1S 公式|
|模型检查|使用 S1S 决策过程检查系统模型是否满足 S1S 公式|

5.3 对未来研究的启示

这种转换方法为基于区间的时态逻辑的研究提供了新的思路。未来的研究可以进一步探索如何优化转换过程，提高转换效率。例如，可以研究更高效的转换算法，减少转换过程中的计算复杂度。

此外，还可以研究如何将这种转换方法应用于其他时态逻辑，扩展其应用范围。例如，可以尝试将其他基于区间的时态逻辑转换为 S1S，以解决它们的可判定性问题。

6. 总结

本文介绍了从命题投影时态逻辑（PPTL）到单后继一元二阶逻辑（S1S）的转换方法。首先，我们回顾了线性时态逻辑的分类，包括基于状态和基于区间的逻辑，并指出基于区间的时态逻辑在规范方面的优势以及可判定性问题。

然后，详细介绍了 PPTL 和 S1S 的语法和语义。PPTL 是一种基于区间的时态逻辑，具有丰富的时态运算符；S1S 是一种具有完整正则表达式表达能力的二阶逻辑，其可判定性已经得到证明。

接着，我们展示了如何将区间表示为 T - 结构，并将 PPTL 公式在 T - 结构上进行解释。通过证明定理 1 和定理 2，我们确保了 PPTL 公式在区间上的满足关系与在 T - 结构上的满足关系是等价的，并且可以将 PPTL 公式转换为 S1S 公式。

最后，我们讨论了这种转换的意义和应用，包括继承 S1S 的理论和技术成果、在模型检查中的应用以及对未来研究的启示。

以下是整个转换过程的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[PPTL 公式] --> B[转换为 T - 结构解释];
    B --> C[根据定理 1 确保等价性];
    C --> D[使用转换函数 toS1S 转换为 S1S 公式];
    D --> E[根据定理 2 确保等价性];
    E --> F[应用 S1S 的理论和技术];
    F --> G[模型检查等应用];

通过这种转换方法，我们为基于区间的时态逻辑的研究和应用提供了新的途径，有望解决其在并发系统验证中的可判定性问题，推动时态逻辑在计算机科学领域的进一步发展。

总之，从 PPTL 到 S1S 的转换是一种有意义的研究方向，它不仅为时态逻辑的理论研究提供了新的视角，也为实际应用中的并发系统验证提供了更有效的方法。未来的研究可以继续深入探索这种转换方法的优化和扩展，以满足不断增长的应用需求。