59、对称正定矩阵平均与流形滚动插值问题研究

对称正定矩阵平均与流形滚动插值问题研究

对称正定矩阵的平均

在对称正定矩阵（SPD）的研究中，平均的计算是一个重要的问题。对于一组SPD矩阵 ${A_1, \ldots, A_K}$，我们可以定义不同类型的平均。
- 算术平均 ：$A(A_1, \ldots, A_K) = \frac{1}{K} \sum_{i=1}^{K} A_i$
- 调和平均 ：$H(A_1, \ldots, A_K) = K(\sum_{i=1}^{K} A_i^{-1})^{-1}$
- 几何平均 ：用 $G(A, B)$ 表示 $A$ 和 $B$ 的几何平均。

基于不同的度量，这些平均有不同的定义方式。例如，基于 $\delta_{LD,B}^2$ 的右均值由算术平均给出，即：
$A(A_1, \ldots, A_K) = \arg \min_{X \in S_n^{++}} \sum_{i=1}^{K} \delta_{LD,B}^2(A_i, X)$

左均值由调和平均给出：
$H(A_1, \ldots, A_K) = \arg \min_{X \in S_n^{++}} \sum_{i=1}^{K} \delta_{LD,B}^2(X, A_i)$

而基于 $\delta_{S1LD,B}^2$ 的对称均值由算术平均和调和平均的几何平均给出：
$G(A(A_1, \ldots, A_K), H(A_1, \ldots, A_K)) = \arg \min_{X \in S_n^{++}} \sum_{i