40、正态分布理论：从向量到矩阵的分布探究

正态分布理论：从向量到矩阵的分布探究

1. 向量分布相关理论

在多元分布中，若分解式 $u = t r$ 里的随机向量 $t$ 在单位球面 $S^{L - 1}$ 上均匀分布，对于从任意分布独立于 $u$ 抽取的 $P_p$ 有特定结论。可从确定性的 $t_0$ 出发，通过正交矩阵 $W$（从正交群均匀抽取）将其旋转为 $Wt_0$，从而使 $t$ 从 $S^{L - 1}$ 均匀抽取。此时，余弦平方统计量可表示为：
[
\rho_p^2 = t_0^T W^T P_p W t_0 = t_0^T W^T V_p V_p^T W t_0
]
其中，$L \times p$ 矩阵 $W_p = W^T V_p$ 是从秩为 $p$ 的斯蒂费尔流形 $St(p, R^L)$ 均匀抽取的正交框架，或者说矩阵 $W^T P_p W$ 是投影到从维度为 $p$ 的格拉斯曼流形 $Gr(p, R^L)$ 均匀抽取的子空间上。所以，对于确定性的 $t_0$ 和从斯蒂费尔流形均匀抽取的 $W_p$，余弦平方统计量 $\rho_p^2 \sim Beta(\frac{p}{2}, \frac{L - p}{2})$。

总结来说，统计量 $\rho_p^2 = \frac{u^T P_p u}{u^T u}$ 服从 $Beta(\frac{p}{2}, \frac{L - p}{2})$ 分布，条件如下：
- 情况 (i)：$u$ 是球不变的，$P_p$ 是秩为 $p$ 的投影，可为确定性的或独立于 $u$ 从任意分布抽取。
- 情况 (ii)：$u = u_0$ 是确定性的，$P_p$ 构造为 $P_p = W_p W_p^T$，其中 $W_p$ 从秩为 $p