45、三连通有根平面图的枚举

最新推荐文章于 2025-10-19 09:40:55 发布

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分类专栏：探索计算机科学讲义6509的深度与广度文章标签：三连通平面图枚举算法有根平面图

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三连通有根平面图的枚举

1. 引言

在图论领域，枚举特定图类中的所有图是一个基础且重要的问题。对图进行编目具有多种用途，比如寻找数学猜想的反例、从候选图中挑选最优图，以及测试图算法在所有可能输入图上的平均性能。

大多数高效枚举算法的核心思想是在给定图类的所有图之间定义父子关系，从而构建一个连接该类所有图的有根树，即家族树 (F)，其中 (F) 中的每个节点对应一个图。然后按照家族树 (F) 的深度优先遍历逐个生成该类中的所有图。枚举算法的时间延迟是指两个连续输出之间的时间界限。以多项式时间延迟枚举图相对容易，因为我们可以随时检查当前图的整体结构。然而，要实现最坏情况下的常数时间延迟算法是一个难题，这需要充分理解待枚举图的结构，因为不仅要求两个连续输出之间的差异为 (O(1))，而且任何用于检查对称性和识别需要修改以获得下一个输出的边/顶点的操作都必须在 (O(1)) 时间内执行。

图的枚举在多个领域有实际应用，例如推断化合物的结构、虚拟探索化学宇宙以及根据分子特征重建分子结构。已知美国国家癌症研究所（NCI）化学数据库中 94.3% 的化合物具有平面结构，因此平面图是一个值得深入研究的重要图类。相关研究团队一直在开发满足各种约束条件的化学图枚举算法，目前的目标是为更广泛的图类（如仙人掌图和外平面图）提供高效的枚举算法。

本文聚焦于 (G_3(n, g)) 类，即所有恰好有 (n) 个顶点且每个内面大小至多为 (g) 的三连通有根平面图。三连通平面图的结构比双连通平面图更为复杂。本文提出了一种算法，能在 (O(n)) 空间和最坏情况下每个图 (O(1)) 时间内枚举 (G_3(n, g)) 中的所有平面图。该算法不使用任何表示四连通分量的动态数据结构来测试待生成图的三连通性，因为要实现 (O(1)) 时间延迟，维护这样的数据结构似乎极其困难。此外，该算法还能得到一个 (O(n^3)) 时间延迟的算法，用于生成所有恰好有 (n) 个顶点且每个内面大小至多为 (g) 的三连通无根平面图。

2. 预备知识

2.1 图的基本定义

除非另有说明，本文中的图均指简单无向图，用 (G = (V, E)) 表示，其中 (V) 是顶点集，(E) 是边集。
对于图 (G)，其顶点集和边集分别记为 (V(G)) 和 (E(G))。
对于 (E’\subseteq E(G))，(G - E’) 表示从图 (G) 中移除 (E’) 中的边后得到的图；对于 (X\subseteq V(G))，(G - X) 表示从图 (G) 中移除 (X) 中的顶点以及与 (X) 中顶点关联的边后得到的图。
顶点 (v) 在图 (G) 中的度记为 (deg(v; G))，顶点 (v) 的邻接点集记为 (\Gamma(v; G))，对于 (X\subseteq V)，(\Gamma(X; G) = \cup_{v\in X}\Gamma(v; G) - X)。图 (G) 的顶点连通度记为 (\kappa(G))。

2.2 特殊图的定义

扇图：由至少有一个顶点的路径 (P) 加上一个新顶点 (v) 以及与路径中每个顶点关联的边得到的图称为扇图，顶点 (v) 称为扇图的中心。具有 (n) 个顶点的扇图记为 (F_n)。
轮图：由 (F_n)（(n\geq4)）通过连接两个度为 2 的顶点得到的图 (W_n) 称为轮图。注意，(F_n)（(n\geq2)）是双连通的，(W_n)（(n\geq4)）是三连通的。

2.3 平面图和平面嵌入

平面图是指其顶点和边可以在平面上绘制为点和曲线，使得除端点外没有两条曲线相交的图。具有固定嵌入的平面图称为平面图形，其中一个面被指定为外部面，其他面称为内部面。
平面图形 (G) 的面集记为 (F(G))，对于平面图形 (G) 中的面 (f)，(V(f)) 和 (E(f)) 分别表示面 (f) 的边界上的顶点集和边集，面 (f) 的大小 (|f|) 定义为 (|V(f)|)。对于顶点 (v) 和边 (e)，(F(v))（或 (F(v; G))）表示包含顶点 (v) 的内面集，(F(e))（或 (F(e; G))）表示包含边 (e) 的内面集。内面 (f\in F(v)) 称为 (v) - 面。

2.4 有根平面图

有根平面图是指具有指定外部边 ((u, r))（方向从 (u) 到 (r)）的平面图形，其中 (r) 称为根。两个有根平面图 (G_1) 和 (G_2) 等价，如果它们的顶点集之间存在一个双射，使得 (G_1) 中的指定有向边以及边与顶点/面的关联关系对应于 (G_2) 中的相应关系。

3. 三连通图

3.1 保持三连通性的变换

在这部分，我们引入一种保持图三连通性的变换。以下引理是设计几种图变换的关键性质，通过检查常数数量的顶点的度，可以测试所得新图的三连通性。

引理 1 ：设 (G) 是一个三连通图，(e = (u_1, u_2)) 是一条边，使得度为 3 的顶点 (v) 与 (G) 中的两个端点 (u_1) 和 (u_2) 都关联。如果 (G - e) 不是三连通的，那么任何大小 (|X|\leq2) 的顶点割 (X) 由 (X = \Gamma(u_1; G - e)) 或 (\Gamma(u_2; G - e)) 给出。

3.2 图的操作

对于三连通图 (G) 中度数为 3 的顶点 (u)，(G/u) 表示从 (G) 中移除顶点 (u) 并在 (u) 的任意两个非相邻邻接点之间添加一条新边得到的图。
对于图 (G) 中长度为 3 的环 (C = (v_1, v_2, v_3))，(G/C) 表示从 (G) 中添加一个新顶点 (u) 以及三条新边 ((u, v_i))（(i = 1, 2, 3)）得到的图。

引理 2 ：设 (G) 是一个三连通图。
- 对于 (G) 中度数为 3 的顶点 (u)，图 (G/u) 仍然是简单且三连通的。
- 对于 (G) 中长度为 3 的环 (C = (v_1, v_2, v_3))，图 (G/C) 仍然是简单且三连通的。对于 (C) 中的边子集 (F)，图 (G/C - F) 是三连通的当且仅当每个 (v_i) 的度数至少为 3。

对于图 (G) 中长度为 3 的环 (C)，(G_3(G/C)) 表示从 (G/C) 中移除 (C) 中的边，使得每个顶点 (v_i) 的度数至少为 3 得到的所有图的集合，其中 (|G_3(G/C)|\leq2^3)。

4. 三连通有根平面图

4.1 边的可移除性

设 (G) 是一个三连通有根平面图，根 (r) 是一个外部顶点。按顺时针顺序将 (G) 的边界上的顶点记为 (u_1 = r, u_2, \cdots, u_B)，并记 (e_i) 为外部边 ((u_i, u_{i + 1}))，其中 (e_B = (u_B, u_1))。对于每条外部边 (e)，(f(e)) 表示包含 (e) 在其边界上的唯一内面。对于 (G) 中的两个外部顶点 (u) 和 (v)，(\beta[u, v]) 表示从 (u) 到 (v) 顺时针遍历 (G) 的边界得到的路径。

在三连通平面图 (G) 中，如果 (G - e) 仍然是三连通的，则边 (e) 称为可移除的，否则称为不可移除的。

引理 3 ：设 (e_i = (u_i, u_{i + 1})) 是三连通平面图 (G) 中的一条外部边。如果 (W^o(f(e_i))\neq\varnothing)，那么对于 (W^o(f(e_i))) 中的每个顶点 (v)，(G - e_i) 有一个大小为 2 的顶点割 (X) 且 (v\in X)。此外，(e_i) 不可移除当且仅当 (W^o(f(e_i))\neq\varnothing)。

对于每条外部边 (e_i = (u_i, u_{i + 1}))，(\tau_{first}(e_i))（分别地，(\tau_{last}(e_i))）是当我们从 (u_i) 顺时针遍历 (G) 的边界时，(W^o(f(e_i))) 中第一个（分别地，最后一个）出现的顶点。对于每条不可移除的外部边 (e_i = (u_i, u_{i + 1}))，定义 (\beta(e_1)) 为路径 (\beta[u_{i + 1}, \tau_{first}(e_i)])。

引理 4 ：设 (e_i = (u_i, u_{i + 1})) 是具有 (n\geq4) 个顶点的三连通平面图 (G) 中的一条不可移除的外部边。那么 (\beta(e_i)) 包含一条可移除的外部边或一个度数为 3 的外部顶点。

4.2 临界顶点和活跃路径

根据引理 4，三连通平面图 (G) 的边界总是包含一条可移除的外部边或一个度数为 3 的外部顶点。第一个可移除元素定义为从根开始顺时针遍历 (G) 的边界时出现的第一个这样的边或顶点。考虑 (G) 的第一个可移除元素，如果是边 (e) 或顶点 (u)，分别记为 (e_p = (u_p, u_{p + 1})) 和 (u_p)。我们称顶点 (u_p) 为临界顶点，称路径 (\beta[r, u_p]) 为活跃路径。

4.3 活跃路径的结构

对于根 (r)，设 (z) 表示 (r) 的第二左邻接点。包含根边 ((u_B, r)) 的 (r) - 面称为最左 (r) - 面，记为 (f_L)。注意，(|f_L| = 3) 当且仅当 ((u_B, z)\in E(G))。

(G) 的扇因子定义为外部顶点的最大序列 (u_{B + 1 - t}, u_{B + 2 - t}, \cdots, u_B)，使得每个 (s_i = u_{B - t + i})（(1\leq i\leq t)）的度数为 3，并且 (z) 与每个 (u_{B - t + i})（(0\leq i\leq t)）相邻（因此 (s_i) 由两个长度为 3 的内面共享）。记 (\psi(G)) 为 (G) 的扇因子。注意，(G) 是 (W_n) 当且仅当 (|\psi(G)| = n - 2)。为了方便记法，设 (s_0 = u_B) 和 (k_0 = B)。

引理 5 ：设 (G) 是一个具有 (n\geq4) 个顶点的三连通平面图，使得 (|f_L| = 3)。设 (t = |\psi(G)|)，(u_p) 为临界顶点。那么对于活跃路径 (\beta[u_1, u_p]) 中的每条边 (e_i = (u_i, u_{i + 1}))，满足 (u_{k_i} = \tau_{last}(e_i)) 的索引 (k_i) 满足 (k_i\in[i + 2, B])，并且有 (p + 1\leq k_{p - 1}\leq\cdots\leq k_2\leq k_1\leq k_0 = B)。此外，如果顶点 (u_p) 是第一个可移除元素，那么 (2\leq p\leq B - t - 1)。

4.4 图的操作

设 (G\oplus s_{t + 1}) 表示从 (G)（(t = |\psi(G)|)）中引入一个新顶点 (s_{t + 1}) 以及一条新边 ((s_{t + 1}, z))，并将 ((s_t, r)) 替换为两条边 ((s_t, s_{t + 1})) 和 ((s_{t + 1}, r)) 得到的图。当从 (G) 构造 (G\oplus s_{t + 1}) 时，称 (\psi(G)) 增加 1。注意，(G\oplus s_{t + 1}) 仍然是三连通的。
对于 (G) 中 (\psi(G)) 的最后一个顶点 (s_t)（(t = |\psi(G)|\geq1)），设 (G\ominus s_t) 表示通过移除顶点 (s_t) 并将与 (s_t) 关联的两个外部顶点 (s_{t - 1}) 和 (r) 用一条外部边重新连接得到的图；即 (G) 是从 (G\ominus s_t) 通过在边 ((s_{t - 1}, r)) 上插入顶点 (s_t) 并连接 (s_t) 和 (z) 得到的图。当从 (G) 构造 (G\ominus s_t) 时，称 (\psi(G)) 减少 1。通过对 (G\ominus s_t = G/s_t) 应用引理 2(i)，可知 (G\ominus s_t) 仍然是三连通的。

4.5 分离 (r) - 面

设 (f’) 是与最左 (r) - 面 (f_L) 相邻的 (u_B) - 面，(z) 是 (r) 的第二左邻接点。(F(r; G) - {f_L}) 中的 (r) - 面 (f) 称为分离 (r) - 面，如果 (f) 和 (f’) 共享一个除 (z) 以外的内顶点。

引理 6 ：设 (G) 是一个以边 ((u_B, r = u_1)) 为根的三连通平面图，使得 (|f_L| = 3)，即 (e = (u_B, z)\in E(G))。那么 (G - e) 是三连通的当且仅当 (deg(u_B; G)\geq4) 且 (G) 没有分离 (r) - 面。

概念	定义
扇图 (F_n)	由至少有一个顶点的路径 (P) 加上一个新顶点 (v) 以及与路径中每个顶点关联的边得到的图，顶点 (v) 为中心
轮图 (W_n)（(n\geq4)）	由 (F_n) 通过连接两个度为 2 的顶点得到的图
可移除边	在三连通平面图 (G) 中，若 (G - e) 仍为三连通，则边 (e) 为可移除边
临界顶点	从根开始顺时针遍历 (G) 的边界时，第一个可移除元素对应的顶点
活跃路径	从根到临界顶点的路径
扇因子 (\psi(G))	外部顶点的最大序列 (u_{B + 1 - t}, u_{B + 2 - t}, \cdots, u_B)，满足特定条件
分离 (r) - 面	(F(r; G) - {f_L}) 中的 (r) - 面 (f)，与 (f’) 共享除 (z) 以外的内顶点

三连通有根平面图的操作流程

graph TD;
    A[开始] --> B[定义三连通有根平面图G];
    B --> C[判断边的可移除性];
    C --> D{是否有可移除边};
    D -- 是 --> E[确定临界顶点和活跃路径];
    D -- 否 --> C;
    E --> F[分析活跃路径结构];
    F --> G[进行图的操作（如G⊕st+1或G⊖st）];
    G --> H[判断是否满足三连通条件];
    H -- 是 --> I[继续后续操作];
    H -- 否 --> G;
    I --> J[结束];

5. 三连通有根平面图的父图

在枚举三连通有根平面图的过程中，为了构建家族树 (F)，需要明确每个图的父图。对于一个三连通有根平面图 (G)，根据前面定义的第一个可移除元素来确定其父图。

5.1 父图的确定方法

可移除边情况 ：如果第一个可移除元素是边 (e_p=(u_p, u_{p + 1}))，则从 (G) 中移除这条边得到的图 (G’ = G - e_p) 作为 (G) 的父图。需要注意的是，要确保 (G’) 仍然是三连通有根平面图。
可移除顶点情况 ：若第一个可移除元素是顶点 (u_p)，且 (u_p) 的度数为 3，根据引理 2(i)，可以通过 (G/u_p) 的操作得到父图。即从 (G) 中移除顶点 (u_p) 并在 (u_p) 的任意两个非相邻邻接点之间添加一条新边。

5.2 父图的性质

三连通性保持 ：通过上述方法得到的父图 (G’) 仍然保持三连通性。这是因为移除可移除边或进行 (G/u_p) 操作时，基于前面引理的保证，不会破坏图的三连通性。
根的继承 ：父图 (G’) 的根与 (G) 的根保持一致，即仍然以相同的外部顶点 (r) 作为根，以保证在家族树 (F) 中根的连续性。

6. 三连通有根平面图的子图

确定了父图后，还需要了解如何从一个三连通有根平面图 (G) 生成其子图。子图的生成是枚举过程中从一个图扩展到其他图的关键步骤。

6.1 子图的生成方式

添加边 ：在 (G) 的基础上，选择合适的位置添加边。例如，可以在满足一定条件的两个非相邻顶点之间添加边，使得新图仍然是三连通有根平面图。添加边时要考虑边的可移除性和图的结构，避免破坏三连通性。
添加顶点 ：引入新的顶点并连接到图中的现有顶点。比如，对于一个长度为 3 的环 (C)，可以通过 (G/C) 的操作添加一个新顶点 (u) 以及三条新边 ((u, v_i))（(i = 1, 2, 3)）。同时，对于 (C) 中的边子集 (F)，移除这些边时要保证每个 (v_i) 的度数至少为 3，以维持图的三连通性。

6.2 子图的约束条件

内面大小限制 ：生成的子图必须满足每个内面的大小至多为 (g) 的条件。在添加边或顶点时，要检查新形成的内面是否符合这一要求。
三连通性要求 ：子图必须是三连通的。这需要在添加边或顶点后，通过检查图的结构和顶点连通度来确保。

子图生成的步骤总结

步骤	操作
1	选择添加边或顶点的方式
2	检查添加位置是否满足三连通性和内面大小限制
3	进行添加操作得到子图
4	再次检查子图的三连通性和内面大小

7. 枚举算法

7.1 算法描述

基于前面对于三连通有根平面图的父图和子图的定义，设计枚举 (G_3(n, g)) 中所有图的算法。算法的核心思想是按照家族树 (F) 的深度优先遍历顺序生成图。

算法：枚举 G3(n, g) 中的所有三连通有根平面图
输入：正整数 n ≥ 1 和 g ≥ 3
输出：G3(n, g) 中的所有三连通有根平面图

1. 初始化家族树 F，将初始图（如轮图 \(W_n\) 等满足条件的图）作为根节点。
2. 从根节点开始进行深度优先遍历：
    - 对于当前节点对应的图 G：
        - 确定 G 的第一个可移除元素，找到其父图 G'。
        - 根据 G 生成所有满足条件的子图。
        - 将子图作为新的节点添加到家族树 F 中。
        - 输出图 G 与上一个输出图的差异。
3. 重复步骤 2，直到遍历完家族树 F 的所有节点。

7.2 复杂度分析

时间复杂度 ：该算法在最坏情况下每个图的时间复杂度为 (O(1))。这是因为在生成每个图时，只需要进行常数时间的操作，如确定父图、生成子图和输出差异等。同时，由于不使用复杂的动态数据结构来测试三连通性，避免了额外的时间开销。
空间复杂度 ：算法的空间复杂度为 (O(n))。主要的空间开销在于存储家族树 (F) 中的节点和图的相关信息。由于每个图的顶点数为 (n)，存储图的结构和相关属性所需的空间与 (n) 成正比。

7.3 算法优势

常数时间延迟 ：能够在常数时间内输出每个图与上一个输出图的差异，使得枚举过程高效。
不依赖复杂数据结构 ：避免了使用表示四连通分量的动态数据结构来测试三连通性，降低了算法的复杂度和维护难度。

枚举算法的流程

graph TD;
    A[开始] --> B[初始化家族树 F 和初始图];
    B --> C[进行深度优先遍历];
    C --> D[确定当前图 G 的父图 G'];
    D --> E[生成 G 的所有子图];
    E --> F[将子图添加到家族树 F];
    F --> G[输出图 G 与上一个输出图的差异];
    G --> H{是否遍历完所有节点};
    H -- 否 --> C;
    H -- 是 --> I[结束];

8. 总结

本文围绕三连通有根平面图的枚举问题展开研究，提出了一种高效的枚举算法。通过定义图的父图和子图，构建家族树 (F)，并按照深度优先遍历的方式生成 (G_3(n, g)) 中的所有图。

8.1 主要成果

算法设计 ：给出了一个在 (O(n)) 空间和最坏情况下每个图 (O(1)) 时间内枚举 (G_3(n, g)) 中所有图的算法。该算法不依赖复杂的动态数据结构来测试三连通性，具有较高的效率。
图结构分析 ：对三连通有根平面图的结构进行了深入分析，包括边的可移除性、临界顶点、活跃路径、扇因子等概念的定义和性质研究，为算法的设计提供了理论基础。