50、高效枚举平面 3 - 树的所有生成树

高效枚举平面 3 - 树的所有生成树

在图论中，平面 3 - 树是一类重要的图结构，而枚举其所有生成树是一个具有实际应用价值的问题。本文将详细介绍平面 3 - 树生成树的相关性质以及两种枚举算法。

1. 平面 3 - 树生成树的基本操作与性质

在深入研究算法之前，我们需要了解一些基本的树操作，这些操作对于理解生成树的生成过程至关重要。
- 边扩展（Edge Extension） ：在树中添加一个新的叶子节点及其关联边。
- 边细分（Edge Subdivision） ：在两个树节点之间的边上添加一个度为 2 的新顶点。
- 路径收缩（Path Contraction） ：边细分的逆操作，移除一个度为 2 的节点，并通过一条边连接其两个邻居节点。
- 根扩展（Root Extension） ：用一个连接路径上所有三个节点的新节点替换树中长度为 2 的路径。
- 根扁平化（Root Flattening） ：根扩展的逆操作。

下面是这些操作的示意图：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(边扩展):::process --> B(添加叶子节点):::process
    C(边细分):::process --> D(添加度为