21、机器人运动方程的递归推导与相关问题解析

机器人运动方程的递归推导与相关问题解析

1. 运动方程的递归推导

在机器人系统中，对于形成运动链的系统，其运动方程可以通过递归的方式进行推导。首先，我们来了解一些基本的向量和矩阵定义。

1.1 速度和角速度向量

运动链的速度和角速度被收集在一个 6×1 的向量 $\mathcal{V}^-$ 中：
$\mathcal{V}^- {k} =
\begin{cases}
v {b,k}^- \
\omega_{k,b}^-
\end{cases}$
其中，点 $k^-$ 位于关节 $k$ 外侧的物体 $k$ 上。$v_{k,b}^-$ 是速度向量 $v_{b,k}^-$ 相对于框架 $k$ 的基的分量，$\omega_{k,b}^-$ 是角速度向量 $\omega_{b,k}^-$ 相对于框架 $k$ 的基的分量。

1.2 系统方程

方程 (3.13) 可以用未知量的系统向量表示为：
$\mathcal{V}^- = \Gamma^T\mathcal{V}^- + \mathcal{H}\dot{\theta}$
其中，组装的系统向量 $\mathcal{V}^-$ 和 $\dot{\theta}$ 定义如下：
$\mathcal{V}^- :=
\begin{cases}
\mathcal{V}^- 1 \
\mathcal{V}^-_2 \
\vdots \
\mathcal{V}^-_N
\end{cases}$
$\dot{\theta}