47、图重建相关研究：三连通平面图与二分置换图-优快云博客

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图重建相关研究：三连通平面图与二分置换图

1. 三连通平面图枚举算法

在图论研究中，对于三连通平面图的枚举是一个重要的课题。这里介绍一种针对特定类别的三连通有根平面图的枚举算法。

对于生成子图 (G’) 的过程，生成下一个子图 (G’ = G_{i,h}^3) 所花费的延迟可能不是 (O(1)) 时间。不过，通过交替生成 (G_{i,h}^3) 和 (G_{i,i + 2}^4) 可以轻松地对这个延迟进行分摊。具体来说，就是将最后一个 for 循环中 (\Delta = 2) 的迭代与生成 (G_{i,h}^3) 的 for 循环合并。

经过这样的优化，在 Gen(G, ε) 中生成两个子图 (G’) 之间的延迟可以被限制在 (O(1)) 时间内。这就证明了 Gen(G, ε) 不包含递归调用 Gen(G', ε) 时的时间复杂度 (T(G)) 是 (O(|C(G) \cap G_3(n, g)|))，并且 Gen(W_n, ε = u_2) 可以在 (O(|G_3(n, g)|)) 时间内运行。

此外，通过在递归调用深度为奇数时，在调用 Gen(G', ε) 之前输出子图 (G’)；在递归调用深度为偶数时，在调用 Gen(G', ε) 之后输出子图 (G’)，可以保证在整个执行过程中，两次输出之间的延迟在最坏情况下为 (O(1))。而且，整个算法 Gen(W_n, ε = u_2) 可以在 (O(n)) 空间内实现。

下面是相关算法的时间复杂度和空间复杂度总结：
| 算法 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
| ---- | ---- | ---- |
| Gen(G, ε) （无递归调用） | (O(|C(G) \cap G_3(n, g)|)) | (O(n)) |
| Gen(W_n, ε = u_2) | (O(|G_3(n, g)|)) | (O(n)) |

对于整数 (n \geq 1) 和 (g \geq 3)，所有恰好有 (n) 个顶点且每个内面长度最多为 (g) 的三连通有根平面图可以通过一个算法在 (O(n)) 空间内无重复地枚举。该算法在经过 (O(n)) 时间的预处理后，在一系列输出中，输出两个连续输出之间的差异的时间为 (O(1))。

这个算法还可以用于生成无根平面图。在执行 Gen(W_n, ε = u_2) 的过程中，通过计算新生成的有根图 (G) 的签名，可以在 (O(n^2)) 时间内检查它是否是具有相同平面图的有根图中的代表。

对于给定的整数 (n \geq 1)，所有恰好有 (n) 个顶点的三连通平面图可以通过一个算法在 (O(n)) 空间内无重复地枚举。该算法在一系列输出中，平均输出两个连续输出之间的差异的时间为 (O(n^3))。

2. 二分置换图的可重建性

图重建猜想是图论中一个长期未解决的开放问题。该猜想已经在最多 11 个顶点的所有图上得到验证，并且在正则图、树、不连通图、单位区间图、无悬挂顶点的可分图、外平面图和单圈图等图类上也得到了验证。现在我们将证明二分置换图也是可重建的。

2.1 相关概念介绍

图重建相关术语
- 卡片（Card） ：如果图 (G’ ) 与 (G - v)（其中 (v \in V)，(G - v) 是从 (G) 中移除顶点 (v) 及其关联边后得到的图）同构，那么 (G’) 被称为图 (G = (V, E)) 的一张卡片。
- 牌组（Deck） ：对于某个正整数 (n)，一个包含 (n) 个具有 (n - 1) 个顶点的图的多重集被称为一个牌组。特别地，图 (G) 的所有 (|V|) 张卡片（每张卡片都与 (G - v) 同构，其中 (v \in V)）组成的多重集是 (G) 的一个牌组。
- 原像（Preimage） ：如果牌组 (D) 是图 (G) 的牌组，那么图 (G) 是牌组 (D) 的一个原像。
- 图重建猜想 ：对于给定的 (n) 个图（(n \geq 3)），最多存在一个原像。
置换图相关概念
- 置换图（Permutation Graph） ：设 (\pi = (\pi_1, \pi_2, \ldots, \pi_n)) 是 (1, \ldots, n) 的一个置换。图 (G_{\pi} = (V_{\pi}, E_{\pi})) 满足 (V_{\pi} = {1, \ldots, n})，并且 ({i, j} \in E_{\pi} \Leftrightarrow (i - j)(\pi_i^{-1} - \pi_j^{-1}) < 0)。如果存在一个置换 (\pi) 使得图 (G) 与 (G_{\pi}) 同构，那么图 (G) 被称为置换图。等价地，如果存在一个置换 (\pi) 使得图 (G) 是置换图 (\pi) 的置换图的交集模型，那么图 (G) 是置换图。
- 二分置换图（Bipartite Permutation Graph） ：如果一个置换图 (G) 是二分图，那么 (G) 被称为二分置换图。
- 置换图的特征 ：一个图 (G) 是二分置换图当且仅当 (G) 不包含特定的禁止图（如图 2 中的图、(K_3) 以及长度大于四的环）作为诱导子图。

下面是二分置换图的一些关键性质总结：
| 性质 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 连通二分置换图的代表置换图数量 | 最多四个 |
| 二分置换图的卡片性质 | 二分置换图的每张卡片都是二分置换图 |

2.2 二分置换图的证明思路

证明二分置换图可重建的主要思路并不复杂，但如果存在一度极顶点，就会出现许多特殊情况，证明会变得复杂。因此，我们先考虑没有一度极顶点的简单情况，然后再处理特殊情况。

在没有一度极顶点的情况下，我们需要一些引理来简化证明：
- 引理 2 ：二分图 (G) 的牌组的所有原像都是二分图。这是因为图 (G) 的色数是可重建的。
- 引理 3 ：二分置换图的牌组的所有原像都是二分置换图。这是由引理 2 和置换图是可识别的这一事实直接得出的。
- 引理 4 ：如果一个连通二分图 (G) 的每个极顶点的度数都大于一，那么通过移除其极顶点得到的卡片是连通的。

我们的主要证明假设二分置换图 (G = (X, Y, E)) 中不存在 (X) 中的顶点其度数为 (|Y|)。因此，我们还需要引理 5：设 (G = (X, Y, E)) 是一个连通二分置换图，且 (X) 中有一个顶点 (x) 的度数为 (|Y|)，那么 (G) 是可重建的。

在满足假设 1（即 (G = (X, Y, E)) 中不存在 (x \in X) 使得 (\text{deg}(x) = |Y|)，也不存在 (y \in Y) 使得 (\text{deg}(y) = |X|)）的情况下，我们分两种情况进行讨论：
- 情况一：(|X| \neq |Y|)
- 假设 (|X| > |Y|)。在 (X) 中有两个极顶点 (x_l) 和 (x_r)，其中 (x_l) 对应置换图中最左边的线段，(x_r) 对应最右边的线段。我们分别用 (p) 和 (q) 表示 (x_l) 和 (x_r) 的度数。类似地，用 (r) 和 (s) 表示 (Y) 中极顶点 (y_l) 和 (y_r) 的度数。不妨假设 (p \leq q)。
- 设 (G_l = (X_l, Y_l, R_l)) 和 (G_r = (X_r, Y_r, R_r)) 分别是通过从 (G) 中移除 (y_l) 和 (y_r) 得到的卡片。根据引理 4，(G_l) 和 (G_r) 是连通的。
- 用 (D_Y) 表示通过移除 (Y) 中的顶点得到的 (G) 的连通卡片的集合。显然，(G_l) 和 (G_r) 在 (D_Y) 中。考虑 (D_Y) 中的一个连通二分置换图 (G’ = (X’, Y’, E’))，不妨假设 (|X’| \geq |Y’|)。由于 (|X| > |Y|)，所以 (|X| = |X’| > |Y’| = |Y| - 1)。这样，我们可以从 (G) 的牌组中选择所有属于 (D_Y) 的卡片，并确定每张卡片的哪个顶点集对应 (X)。
- 考虑 (X’) 中极顶点的度数：
- 如果 (G’) 是 (G_l)，那么 (X’) 中极顶点的度数是 ({p - 1, q})。
- 如果 (G’) 是 (G_r)，那么 (X’) 中极顶点的度数是 ({p, q - 1})。
- 否则，(X’) 中极顶点的度数是 ({p - 1, q})、({p, q - 1}) 或 ({p, q})。
- 我们称 (G’) 为“好的（Good）”，如果 (X’) 中极顶点的度数是 ({p - 1, q})。设 ({G_1’, \ldots, G_k’}) 是 (D_Y) 中所有好的图的集合。设 (d_i) 是移除顶点 (v_i) 得到 (G_i’) 时 (v_i) 的度数。由于度数序列是可重建的，我们可以确定每个 (d_i)。根据引理 12（后续证明），(r = \min_{i = 1, \ldots, k} d_i)。这样，我们就可以从牌组中唯一地重建原像，只需要添加一个度数为 (r) 的极顶点并使其与度数为 (p - 1) 的极顶点相邻，这可以根据引理 13（后续证明）在置换图上确定性地完成。
- 情况二：(|X| = |Y|)
- 在这种情况下，每个连通卡片的形式为 (G_i = (X_i, Y_i, E))，且 (|X_i| = |Y_i| - 1)。此时，我们无法直接确定每个卡片的哪个顶点集对应 (X) 和 (Y)，后续需要进一步的分析和处理。

下面是情况一的处理流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[判断|X|与|Y|的关系];
    B -- |X| > |Y| --> C[确定X中的极顶点xl和xr及其度数p和q];
    C --> D[确定Y中的极顶点yl和yr及其度数r和s];
    D --> E[得到卡片Gl和Gr];
    E --> F[确定DY集合];
    F --> G[选择DY中的连通二分置换图G'];
    G --> H[判断G'的类型];
    H -- G'是Gl --> I[确定X'中极顶点度数为{p - 1, q}];
    H -- G'是Gr --> J[确定X'中极顶点度数为{p, q - 1}];
    H -- 其他情况 --> K[确定X'中极顶点度数为{p - 1, q}、{p, q - 1}或{p, q}];
    I --> L[标记G'为好的图];
    J --> M[不标记G'为好的图];
    K --> N[判断是否为{p - 1, q}];
    N -- 是 --> L;
    N -- 否 --> M;
    L --> O[确定好的图集合{G1', ..., Gk'}];
    O --> P[确定di];
    P --> Q[计算r = min(di)];
    Q --> R[重建原像];
    R --> S[结束];
    M --> G;

通过以上的分析和处理，我们在一定程度上展示了二分置换图可重建性的证明过程。在后续的内容中，我们将继续深入探讨特殊情况以及相关引理的证明。

图重建相关研究：三连通平面图与二分置换图

3. 二分置换图证明的特殊情况处理及引理证明

3.1 特殊情况处理

在前面的证明中，我们考虑了没有一度极顶点且满足假设 1 的情况。但实际情况中，可能会出现一度极顶点以及不满足假设 1 的情况，下面我们来处理这些特殊情况。

存在一度极顶点的情况 ：当二分置换图 (G) 存在一度极顶点时，通过移除这些一度极顶点，我们可以得到一个新的连通二分置换图 (G’)，我们称 (G’) 为 (G) 的主干（Trunk），记为 (Tr(G))。一度极顶点到其在 (Tr(G)) 中最近的顶点的路径称为肢（Limb）。
- 对于存在一度极顶点的情况，我们可以先对 (Tr(G)) 进行重建。因为 (Tr(G)) 中不存在一度极顶点，所以可以利用前面没有一度极顶点的情况进行重建。
- 重建 (Tr(G)) 后，再根据肢的信息，将一度极顶点添加回去，从而完成整个二分置换图 (G) 的重建。
不满足假设 1 的情况 ：假设 1 要求 (G = (X, Y, E)) 中不存在 (x \in X) 使得 (\text{deg}(x) = |Y|)，也不存在 (y \in Y) 使得 (\text{deg}(y) = |X|)。当不满足这个假设时，我们可以利用前面提到的引理 5 来处理。引理 5 表明，当 (G = (X, Y, E)) 是一个连通二分置换图且 (X) 中有一个顶点 (x) 的度数为 (|Y|) 时，(G) 是可重建的。对于 (Y) 中存在顶点度数为 (|X|) 的情况，证明方法类似。

3.2 相关引理证明

在前面的证明过程中，我们使用了一些引理，下面我们来证明这些引理。

引理 2：所有二分图 (G) 的牌组的原像都是二分图
- 证明：因为图的色数是可重建的，二分图的色数为 2。设 (G) 是一个二分图，其牌组为 (D)。对于 (D) 的任意原像 (G’)，由于 (G) 的色数可从牌组 (D) 中确定为 2，所以 (G’) 的色数也为 2，根据二分图的定义，色数为 2 的图是二分图，因此 (G’) 是二分图。
引理 3：二分置换图的牌组的所有原像都是二分置换图
- 证明：由引理 2 可知，二分置换图 (G) 的牌组的原像都是二分图。又因为置换图是可识别的，即从牌组可以判断一个图是否为置换图。所以二分置换图 (G) 的牌组的原像既是二分图又是置换图，根据二分置换图的定义，它们都是二分置换图。
引理 4：如果一个连通二分图 (G) 的每个极顶点的度数都大于一，那么通过移除其极顶点得到的卡片是连通的
- 证明：假设 (G) 是一个连通二分图，且每个极顶点的度数都大于一。设 (v) 是 (G) 的一个极顶点，移除 (v) 得到卡片 (G’ = G - v)。由于 (v) 的度数大于一，所以 (v) 至少与两个其他顶点相连。在 (G) 中，任意两个顶点之间都存在路径，当移除 (v) 后，因为 (v) 与其他顶点的连接关系，其他顶点之间仍然可以通过其他路径相连，所以 (G’) 仍然是连通的。
引理 5：设 (G = (X, Y, E)) 是一个连通二分置换图，且 (X) 中有一个顶点 (x) 的度数为 (|Y|)，那么 (G) 是可重建的
- 证明：
  - 首先，根据牌组可以确定图 (G) 的一些基本信息，如顶点数、边数等。
  - 因为 (x) 的度数为 (|Y|)，所以 (x) 与 (Y) 中的所有顶点都相连。在牌组中，移除 (x) 得到的卡片 (G - x) 是一个具有 (|X| - 1) 个顶点和 (|Y|) 个顶点的二分图。
  - 我们可以通过分析牌组中其他卡片的信息，确定 (Y) 中顶点之间的连接关系。
  - 然后，根据 (x) 与 (Y) 中所有顶点相连的信息，将 (x) 添加回去，从而重建出整个图 (G)。

4. 总结与展望

4.1 总结

本文主要探讨了两个重要的图论问题：三连通平面图的枚举和二分置换图的可重建性。

三连通平面图枚举 ：我们介绍了一种枚举算法，该算法可以在 (O(n)) 空间内无重复地枚举所有恰好有 (n) 个顶点且每个内面长度最多为 (g) 的三连通有根平面图。通过交替生成子图和优化输出顺序，算法在经过 (O(n)) 时间的预处理后，输出两个连续输出之间的差异的时间为 (O(1))。该算法还可以扩展到生成无根平面图。
二分置换图可重建性 ：我们证明了二分置换图是可重建的。首先介绍了图重建的相关概念，然后给出了证明的主要思路，先考虑没有一度极顶点且满足假设 1 的简单情况，再处理特殊情况。通过一系列引理的证明和特殊情况的处理，完成了整个证明过程。

下面是对本文研究内容的总结表格：
| 研究内容 | 主要结果 | 时间复杂度 | 空间复杂度 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 三连通平面图枚举 | 可无重复枚举特定三连通有根平面图及无根平面图 | 预处理 (O(n))，输出差异 (O(1))（有根），平均 (O(n^3))（无根） | (O(n)) |
| 二分置换图可重建性 | 二分置换图可从牌组唯一重建 | - | - |

4.2 展望

虽然我们在三连通平面图枚举和二分置换图可重建性方面取得了一定的成果，但仍有许多问题值得进一步研究。

更高连通性的平面图枚举 ：可以设计枚举算法来处理具有更高顶点连通性的有根平面图，这将有助于更深入地研究平面图的结构和性质。
考虑对称性的图枚举 ：在图的枚举过程中，可以考虑图的反射对称性等因素，以更全面地研究图的特征。
图重建猜想的进一步验证 ：图重建猜想仍然是一个开放问题，我们可以尝试将可重建的图类进一步扩展，寻找更多满足猜想的图类。

下面是未来研究方向的 mermaid 流程图：

graph LR;
    A[三连通平面图枚举] --> B[更高连通性平面图枚举];
    A --> C[考虑对称性的图枚举];
    D[二分置换图可重建性] --> E[扩展可重建图类];
    E --> F[验证图重建猜想];

通过本文的研究，我们为图论中的图枚举和图重建问题提供了新的思路和方法，希望能为后续的研究提供一定的参考。