51nod 1020 逆序排列（递推）

最新推荐文章于 2021-08-18 10:17:57 发布

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本文介绍了一种使用动态规划方法解决逆序数排列计数问题的算法实现，旨在求解1到n的所有排列中逆序数为k的排列数量，并通过模运算处理大数问题。

题目：

在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么它们就称为一个逆序。一个排列中逆序的总数就称为这个排列的逆序数。

如2 4 3 1中，2 1，4 3，4 1，3 1是逆序，逆序数是4。

1-n的全排列中，逆序数最小为0（正序），最大为n*(n-1) / 2（倒序）

给出2个数n和k，求1-n的全排列中，逆序数为k的排列有多少种？

例如：n = 4 k = 3。

1 2 3 4的排列中逆序为3的共有6个，分别是：

1 4 3 2

2 3 4 1

2 4 1 3

3 1 4 2

3 2 1 4

4 1 2 3

由于逆序排列的数量非常大，因此只需计算并输出该数 Mod 10^9 + 7的结果就可以了。

思路：dp，dp[i][j]表示前i个数形成j个逆序对的方案数，dp[i][j]=sigma(dp[i-1][j-i+1].....dp[i-1][j]).根据 i 这个最大的数放的位置来确定转移方程，可以用前缀和优化。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
int t,n,m;
int dp[1003][20003],sum[20003];
const int N=1000;
const int M=20000;
int main()
{
    dp[1][0]=1;
    for(int i=2;i<=N;i++)
    {
        sum[0]=1;
        for(int j=1;j<=M;j++)
            sum[j]=(sum[j-1]+dp[i-1][j])%mod;
        for(int j=0;j<=M;j++)
            dp[i][j]=((sum[j]-sum[max(0,j-i+1)]+mod)%mod+dp[i-1][max(0,j-i+1)])%mod;
    }
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d",&n,&m);
        printf("%d\n",dp[n][m]);
    }
    return 0;
}