51Nod-1020-逆序排序

最新推荐文章于 2022-04-28 12:44:12 发布

f_zyj

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分类专栏：动态规划 51Nod-题解集锦文章标签：逆序 dp

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本文介绍了一种解决ACM竞赛中逆序数问题的动态规划算法，通过递推公式f(n,k)=f(n,k-1)+f(n-1,k)-f(n-1,k-n)，实现了高效求解n个数的排列中逆序数个数为k的排列数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

ACM模版

描述

题解

乍一看，逆序数，差点不分青红皂白的就要写归排，还好收住了势头，仔细一看，是dp，然而，我看得出事dp，却因为自己dp用的不够灵活而始终推不出……

看了相关讨论中Cppowboy的题解，顿悟，好牛逼的说，赞一下~~~

设f(n,k)表示n个数的排列中逆序数个数为k的排列数。
最大的数n可能会排在第n-i位，从而产生i个与n有关的逆序对，去掉n之后，剩下的n-1个数的排列有k-i个逆序对。

所以，

f(n, k) = sum(f(n - 1, k - i))(0 <= i < n)

同理有，

f(n, k - 1) = sum(f(n - 1, k - 1 - i))(0 <= i < n)

两式相减，可得，

f(n, k) - f(n, k - 1) = f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)

递推公式为，

f(n, k) = f(n, k - 1) + f(n - 1, k) - f(n - 1, k - n)

然后动态规划可得。

碉堡了，这里需要注意的是，可以1000 * 20000是可以开出来的，但是因为我一开始逗逼了直接开的long long数组，所以爆内存了，改成int就好了，想进一步优化可以改成滚动数组。

代码

#include <iostream>

using namespace std;

const int MAXN = 1e3 + 10;
const int MAXK = 2e4 + 10;
const int MOD = 1e9 + 7;

int dp[MAXN][MAXK]; //  dp[n][k]表示n个数的排列中逆序数个数为k的排列数

void init()
{
    //  逆序数为0的排列为正序
    for (int i = 1; i < MAXN; i++)
    {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int i = 2; i < MAXN; i++)
    {
        int up = i * (i - 1) / 2;
        for (int j = 1; j <= up && j < MAXK; j++)
        {
            dp[i][j] = ((dp[i][j - 1] + dp[i - 1][j] - (j - i >= 0 ? dp[i - 1][j - i] : 0)) % MOD + MOD) % MOD;
        }
    }
}

int main(int argc, const char * argv[])
{
    init();

    int T;
    cin >> T;

    int n, k;
    while (T--)
    {
        cin >> n >> k;
        cout << dp[n][k] << '\n';
    }

    return 0;
}