一维正态分布的最大似然估计

正态分布密度函数是：

　　若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ2的正态分布，记为N(μ，σ2)。当μ=0，σ2=1是，称为标准正态分布。不需要记住这个复杂的公式，知道它的意义即可，在使用时可以随时查阅。

　　在研究正态分布时，我们认为每个样本都是等权的，因此μ是随机变量的均值，控制了曲线的位置，σ2控制了曲线的陡峭程度：

　　σ2越小，样本越靠近μ：

　　在上图中，当σ=0.2时，曲线更陡峭，倒钟更窄，样本更向μ处集中。

最大似然估计量

　　随机变量X服从正态分布：

　　如果有n个可观察样本，根据最大似然函数的公式：

　　其中：

　　取对数似然函数，并根据对数计算公式继续化简：

　　由①可以得知：

　　现在可以得出最终结论：