11、几何图形中的三角形、矩形、正方形及其他四边形性质探究

几何图形中的三角形、矩形、正方形及其他四边形性质探究

在几何的世界里，三角形、矩形、正方形以及其他各类四边形都有着独特的性质和规律。让我们一同深入探究其中的奥秘。

1. 三角形的中线

三角形顶点与对边中点相连的线段被称为三角形的中线，它具有两个重要性质。

• 定理 2.15 ：三角形的三条中线相交于同一点，该点将每条中线分成 2:1 的两段。
  • 证明 ：设(BZ)和(\Gamma E)是(\triangle AB\Gamma)的两条中线，交点为(\Delta)。取(B\Delta)和(\Gamma\Delta)的中点(\Theta)和(H)，根据定理 2.14，(\Theta E)和(HZ)平行于(A\Delta)且等于其一半，所以(EZH\Theta)是平行四边形，其对角线在(\Delta)处平分。过(H)作平行于(BZ)的直线(HI)交(B\Gamma)于(I)，可证明(HI)平行且等于(B\Delta)的一半，(I)是(B\Gamma)中点，(\Delta ZHI)也是平行四边形，从而(\Delta I)与(A\Delta)共线，即第三条中线(AI)也过(\Delta)，且(\Delta)将每条中线按 2:1 分割。这个交点被称为三角形的重心。
• 相关练习
  • 练习 2.83 ：若(\triangle AB\Gamma)的中线(BN)和(\Gamma M)相等，则该三角形是等腰三角形。提示：中线交点(\Del