初等几何（1）：三角形、四边形、正多边形

§1  三角形

1.任意三角形各元素及计算公式

                 

符号	名称及说明	计算公式
ΔABC	以A、B、C三点为顶点的三角形
a、b、c 或BC,CA,AB	三角形三条边	a2=b2+c2-2bccosA b2=a2+c2-2accosB c2=a2+b2-2abcosC
A、B、C 或∠A,∠B,∠C	三角形三个内角	A+B+C=180°
ha(ADa) hb(BDb) hc(CDc)	分别是a、b、c边上的高	ha=bsinC=csinB 类似有hb，hc的计算公式 式中S为三角形面积，p为三角形半周长
ma(AEa) mb(BEb) mc(CEc)	分别是a、b、c边上的中线	类似有mb和mc的计算公式
ta(AFa) tb(BFb) tc(CFc)	分别是A、B、C三角的平分线	类似有tb和tc的计算公式
H	垂心.三条高的交点
G	重心.三条中线的交点	类似有GEb，GEc的计算公式
O内	内心（内切圆圆心）.三条角平分线的交点.
O外	外心（外接圆圆心）.三边垂直平分线的交点.
P	半周长
S	ΔABC的面积
R	外接圆半径
r	内切圆半径

2.直角三角形

  如图，ΔABC中，C=90°   

(1)内角计算公式： A+B=C=90°

(2)边长关系式（勾股定理）：c²=a²+b²

(3)斜边上的中线长：  

(4)两锐角的三角函数关系：        

(5)面积公式：  

(6)外接圆半径公式：       （外接圆圆心O_外为AB的中点E）

(7)内切圆半径公式： 

3.等腰三角形

 如图，ΔABC中，b=c

(1)底角相等，即B=C

(2)底边(BC)上的高、中线及顶角平分线为同一直线(AD).

      

(3)腰上的中线公式：

(4)底角平分线公式：

(5)面积公式：

(6)外接圆半径公式：

(7)内切圆半径公式：

4.等边三角形

  如图，ΔABC中，a=b=c

   (1)内角相等：A=B=C=60°

  (2)高、中线、角平分线都相等，计算公式：

    

  (3)面积公式：

  (4)外接圆半径公式：

  (5)内切圆半径公式：

§2 四边形

1.任意四边形各元素及面积计算公式

符号	名称及说明
a、b、c、d 或AB,BC,CD,DA	四边形四条边
A、B、C、D 或∠A,∠B,∠C,∠D	四边形四内角
e、f 或AC,BD	四边形两条对角线
θ	两条对角线夹角θ≤90°
S	四边形面积
	四边形半周长

*四边形面积公式   

   其中 

*当θ=90°(AC⊥BD)时，四边形边长有关系式：a²+c²=b²+d²

2.平行四边形

如图，平行四边形ABCD,AB∥CD, AD∥BC

(1)内角关系：A=C, B=D

            A+B=C+D=180°

(2)边长关系：a=c, b=d

(3)高h的计算公式：h=bsinA=bsinB    (=dsinA=dsinB)

(4)对角线e、f 的计算公式：

   

(5)面积计算公式：

(6)重心G为对角线交点

(7)对角线互相平分，即AG=GC,BG=GD

3.矩形

矩形为平行四边形的特殊情况

(1)内角关系：A=B=C=D=90°

(2)对角线长相等，计算公式为：

(3)面积计算公式：S=ab

4.菱形

菱形为平行四边形的特殊情况

(1)边长关系：a=b=c=d

(2)对角线相互垂直切平分，即AC⊥BD，AG=GC,BG=GD

(3)对角线与边长关系：

(4)面积计算公式：

5.梯形

如图，梯形ABCD,AB∥CD

(1)中位线计算公式：EF为梯形ABCD的中位线，m为其长，

(2)面积计算公式：

6.圆内接四边形

如图，四边形ABCD有外接圆，R为外接圆半径

(1)内角公式:A+C=B+D=180°

(2)各线段的比例式：QA:QB=QC:QD    AE^.EC=BE^.ED

(3)对角线公式：

(4)外接圆半径公式：

(5)面积计算公式：

§3 正多边形

符号	意义
n	边数(n≥3)
a	正n边形边长
θ	内角
n	圆心角，α=360°/n
r	内切圆半径
R	外接圆半径
l	周长，l=na
S	面积

1.正多边形的角

*内角：

*内角和：nθ=(n-2)180°(=(n-2))

*外角和=360°（=2）

2.外接圆半径公式

     

3.内切圆半径公式

     

4.面积公式

    

5.边长公式

     

因此有：正三角形边长：

       正方形边长： 

       正五边形边长：

       正六边形边长：

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