6、几何中的平行公理与对称性质

几何中的平行公理与对称性质

平行公理相关内容

在几何领域，平行公理是一个重要的基础概念。之前所证明的命题大多处于绝对几何的范畴，在此范畴内，我们并未使用过从一点到一条直线的平行唯一性性质。而现在，我们将跨越绝对几何的边界，进入欧几里得几何的领域，开始探索依赖于平行线性质的各种图形特性。

欧几里得几何除了接受1.2 - 1.6节中关于直线、角度和三角形的性质外，还认可平行唯一性的有效性，即公理1.15：经过不在直线ε上的一点A，有且只有一条直线ε′与ε平行（如图1.66所示）。

基于此公理，我们可以得到一些重要的推论：
- 推论1.20 ：如果直线α与直线β相交，那么与α平行的直线α′也会与直线β相交。假设α′不与β相交（如图1.67 - I），那么从α和β的交点A就会有两条不同的直线（α和β）与α′平行，这显然是矛盾的，所以α′必然与β相交。
- 推论1.21 ：三角形的每个外角的度数等于其两个不相邻内角的度数之和（如图1.68 - II）。
- 推论1.22 ：在每个直角三角形中，其两个锐角的和等于一个直角（如图1.69 - I）。
- 推论1.23 ：如果直线ζ分别与另外两条直线{ε, ε′}相交于点{A, B}，且在这两点形成的内角和相邻角α和β满足α + β < 180°，那么直线ε和ε′会在ζ包含角α和β的一侧相交（如图1.69 - II）。这是因为若ε和ε′不相交，它们平行时应有α + β = 180°，与假设矛盾；若它们在另一侧相交，会形成一个内角和大于180°的三角形，