5、几何基础概念中的重要定理与性质

几何基础概念中的重要定理与性质

在几何领域，有许多基础概念和定理构成了整个学科的基石。下面我们将深入探讨三角形不等式、点到直线的正交线、平行线的构造以及三角形内角和等重要内容。

1. 三角形不等式

三角形不等式在几何中具有极其重要的地位，它证实了我们的直觉：两点之间线段最短。

• 定理 1.6 ：三角形任意两边之和大于第三边。
  • 证明 ：设(\triangle AB\Gamma)中(a = |B\Gamma|)是最大边。通过延长(AB)使(A\Delta = A\Gamma)，构造新的(\triangle \Delta B\Gamma)。因为(\angle B\Gamma \Delta = \angle B\Gamma A + \angle A\Gamma \Delta\gt \angle \Gamma \Delta B)，根据定理 1.4，可得(|B\Delta| = b + c\gt |B\Gamma| = a)。
• 定理 1.7 ：三角形任意两边之差小于第三边。
  • 证明 ：在(\triangle AB\Gamma)中，设(b\gt c)，即(A\Gamma\gt AB)。在(A\Gamma)上取(A\Delta = AB)，得到(\triangle \Delta B\Gamma)。由于(\angle B\Delta \Gamma)是等腰(\triangle BA\Delta)底角(\omega)的外角，所以