49、三维最小曼哈顿网络问题解析

最新推荐文章于 2025-10-17 13:06:25 发布

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分类专栏：算法世界的探索之旅文章标签：三维最小曼哈顿网络 MMN2-3D 3SAT归约

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三维最小曼哈顿网络问题解析

1. 基本概念

在三维空间中研究最小曼哈顿网络问题时，我们主要考虑各边与坐标轴平行的长方体，后续提及“长方体”均指此类长方体，平面同理。

若在长方体 $C(p, q)$ 内部（包括表面）存在另一点 $r$，那么任何可行解都需包含从 $p$ 到 $r$ 以及从 $r$ 到 $q$ 的最短路径，这两条路径组合起来便构成了从 $p$ 到 $q$ 的最短路径。所以，点对 ${p, q}$ 对于解的正确性并非关键。反之，若长方体除 $p$ 和 $q$ 外无其他点，我们称点对 ${p, q}$ 及其对应的长方体为关键的。

有如下重要结论：解 $S$ 对于点集 $P$ 是可行的，当且仅当对于 $P$ 中的每个关键对 ${p, q}$，从 $p$ 到 $q$ 的最短路径都包含在 $S$ 中。基于此，后续我们只需讨论每个点与少数特定点的连接情况，因为多数其他点与当前考虑的点不会构成关键对，它们在曼哈顿距离下处于其他点“后方”。

另外，若长方体 $C(p, q)$ 退化为一条线段，那么这条线段是每个可行解的必要组成部分，可用于构建解的某些固定部分并分隔其他部分。

我们构造的一个特点是，所有关键长方体实际上都是矩形。即对于每个点，我们只需考虑其所在的与坐标轴平行的平面，就能确定所需的连接线段。这极大地简化了判断所需线段数量和足够线段数量的过程，也引出了 MMN2 - 3D 的定义，它是 MMN3D 的一个子情况，其中所有关键长方体都是矩形，也就是点分布在三维空间，但关键连接始终是二维的。

2. 困难实例的构造

我们通过从 3SAT 问题进行归约来证明相关结论，即针对给定公式构造对应的点集作为 MMN2 - 3D 实例。

假设给定公式 $\varPhi = \varphi_1 \land \varphi_2 \land \cdots \land \varphi_m$，其中子句 $\varphi_i = l_{i,1} \lor l_{i,2} \lor l_{i,3}$，变量集为 $x_1, \cdots, x_k$。要构造的点集 $P$ 包含在一个大长方体 $C_0$ 中，$C_0$ 的所有角点都在 $P$ 中，且大部分点位于 $C_0$ 的表面，形成一个“笼子”，线段放置的关键决策在此内部进行。

以公式 $(x \lor y) \land (y \lor z) \land (x \lor z)$ 为例，会有一长串直立的平面段，每个变量对应一组“框架”，有五条垂直线的框架是变量之间的分隔符，每个子句使用一个水平面来放置相应的点。

垂直框架的构建与分析
- 首先描述垂直框架，构建具有相同 $z$ 坐标的点子集，并分析它们之间的必要和可选线段。
- 分隔框架（图 2 (a)）、最后框架（图 2 (b)）和第一框架（图 2 (c)）都会形成固定的必要线段网格。在图 2 (c) 中，点 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 用空心圆表示，它们位于最后框架前方距离为 1 的位置，仅用于后续定位。
- 图中使用了一些大距离，标注为 $b$、$b’$、$a$ 和 $a’$，后续计算近似性下界时会确定其具体值。若图中线条绘制得较近，除非另有说明，一般假设它们之间的距离为 1。
变量框架的特点
- 对于每个变量 $x_j$，构建偶数个框架，正出现和负出现的框架交替构建。在后续归约使用的公式中，不会出现某些框架不用于任何子句的情况。
- 以一对正出现和负出现的框架（图 3）为例，长方体外部的实线是必要线段（部分由第一框架到最后框架的连接导致）。连接 $pt$、$pb$、$nt$ 和 $nb$ 时存在选择，两条垂直线就足够，但需选择两条虚线或两条实线。我们将变量赋值为真解释为在正出现的框架中使用左侧垂直线（图中的虚线选择）。
- 通常每个变量正、负出现多次，上述模式会重复。一个变量的完整块（包括一个分隔符）从上方看如图 4 所示。
变量框架与子句的交互
- 由于变量框架用于某个子句中该变量的出现，我们会在框架中添加一些点以实现与子句的交互。以负出现情况（图 5 (a)）为例，对于每个子句 $\varphi_i = l_{i,1} \lor l_{i,2} \lor l_{i,3}$，保留一个水平面，在该出现的框架中此水平面上添加点 $l_{i,j}’$，在左侧距离底部为 1 的位置添加点 $l_{i,j}$。同时，在 $l_{i,j}’$ 正上方的顶部添加一点，固定 $l_{i,j}’$ 的向上连接；在 $l_{i,j}$ 右侧相对位置添加一点，生成与 $l_{i,j}$ 的实线连接。
- 重点在于 $l_{i,j}’$ 到 $l_{i,j}$ 的连接，可能需要一条昂贵的额外线段。若在变量赋值中选择右侧垂直线，已能实现 $l_{i,j}’$ 到 $l_{i,j}$ 的连接；否则，需要一条额外线段。通过设置 $b < b’$，确保更好的选择是使用从 $l_{i,j}’$ 向左的水平线段。
- 重要的是，只有在后一种情况下，会在子句平面中添加一条线段，这对应于当前考虑的变量出现满足该子句。最终我们将构造应用于每个变量恰好正出现两次和负出现两次的公式，每个变量设置会在该变量的四个框架中的两个框架中添加一条水平线段。
避免混合使用虚线和实线
- 若混合使用虚线和实线，即从 $nt$ 向下，向左移动，再向下到 $nb$，那么在该变量的每个框架中都需要虚线水平线段来连接 $l_{i,j}’$ 到 $l_{i,j}$，而不只是每隔一个框架需要。虽然对于每条虚线线段，可能在子句平面中节省相同长度的线段，但不会更多。所以，后续我们排除这种“混合选择”。
不同点之间的关键对情况
- 不同出现（甚至不同变量）的点 $l_{i,j}’$ 和 $l_{i,j}$ 可能构成关键对。对于 $l_{i,j}$ 来说没问题，它们都位于两条相互平行的直线上，被第一框架和最后框架上的 $c$、$c’$、$d$ 和 $d’$ 包围，通过必要线段连接。对于 $(i, j) \neq (i’, j’)$，长方体 $C(l_{i,j}’, l_{i’,j’})$ 不是关键的，因为它包含 $l_{i,j}$。
- 点 $l_{i,j}’$ 和 $l_{i’,j’}’$ 位于不同水平面上，第一框架和最后框架上的 $c_1’, \cdots, s_m’$ 和 $k_1’, \cdots, k_m’$ 确保了 $z$ 方向的连接，连接不同 $l_{i,j}’$ 所需的只是小垂直线段。通过设置子句平面之间的距离为 1，确保这些小线段总体上不会对全局最优解产生太大影响。
单个子句的水平面情况
- 最后看单个子句的水平面（图 6），之前未讨论的点是 $k_i$。$k_1, \cdots, k_m$ 相互垂直排列，在最底部、底部上方距离为 1（$l_{i,j}$ 所在平面）、最顶部和顶部下方距离为 1 的位置都添加了 $k_i$ 下方的点，后续只需考虑 $k_i$ 在其所在水平面的连接。
- $k_i$ 和 $k_i’$ 在两个坐标上的距离都为 1，无需担心向右和向前的连接位置。关键连接是从 $k_i$ 到 $c_i$，这里我们选择 $a’$ 远大于 $a$（$a’$ 略大于 $b$），$a$ 是最后框架与表示任何变量出现的第一框架之间的距离。
- 这导致如果某个变量出现有从 $l_{i,j}’$ 到 $l_{i,j}$ 的连接，那么从 $k_i$ 到 $c_i$ 的连接成本最多为 $a$；否则，需要从 $k_i$ 到连接 $c_i$ 和 $k_i’‘$ 的直线的连接，成本至少为 $b$。

下面是一个 mermaid 流程图，展示构造过程的主要步骤：

graph LR
    A[给定 3SAT 公式] --> B[构造点集 P 在大长方体 C0 中]
    B --> C[构建垂直框架]
    C --> D[构建变量框架]
    D --> E[添加与子句交互的点]
    E --> F[考虑不同点的关键对情况]
    F --> G[分析单个子句水平面的连接]

3. 近似性下界

为了得到近似性下界，我们使用 Berman、Karpinski 和 Scott 关于每个变量出现次数有限的 SAT 变体的结果。定义 $(3, B2) - SAT$ 为 SAT 的限制，即每个子句恰好包含 3 个变量，每个变量恰好正出现两次和负出现两次，$MAX - (3, B2) - SAT$ 是相应的最大化问题。

有如下定理：
- 定理 1：存在一族 $MAX - (3, B2) - SAT$ 实例，包含 $10^{16}n$ 个子句，对于任意小的 $\varepsilon < \frac{1}{2}$，区分能满足 $(10^{16} - \varepsilon)n$ 个子句的实例和最多能满足 $(10^{15} + \varepsilon)n$ 个子句的实例是 NP 难的。

我们将证明以下定理：
- 定理 2：存在一族 MMN2 - 3D 实例，包含 $194l + 4$ 个点，对于任意小的 $\delta < \frac{1}{2}$，区分存在成本小于 $(48260 + \delta)L$ 的解的实例和每个解成本至少为 $(48261 - \delta)L$（$L = \frac{l^4}{254}$）的实例是 NP 难的。

证明过程如下：
- 给定一个包含 $10^{16}n$ 个子句的 $MAX - (3, B2) - SAT$ 实例 $\varPhi$，应用前面的构造方法得到点集 $P$ 作为 MMN2 - 3D 实例。
- 若存在一个变量赋值能满足 $(10^{16} - \varepsilon)n$ 个子句，我们要证明得到的点集 $P$ 有成本至多为 $(48260 + \delta)L$ 的曼哈顿网络；若最多能满足 $(10^{15} + \varepsilon)n$ 个子句，每个曼哈顿网络成本至少为 $(48261 - \delta)L$。
- 构造点集 $P$ 时，我们发现任何曼哈顿网络都有很多必要线段。若要得到最小成本解，只有少数选择，主要是变量框架中垂直线段的选择，这会影响子句平面中额外线段的成本。
- 有人可能想在变量框架中“作弊”以节省子句成本，即在变量块中间改变选择。但由于选择的 $MAX - (3, B2) - SAT$ 公式中每个变量只有四个出现（两个正出现和两个负出现），且框架交替构建，同时最优赋值至少满足变量出现的四个子句中的两个，通过这种“作弊”方式最多只能多满足一个“满足子句”。更确切地说，可能在子句平面节省长度为 $b$ 的线段，但要在变量框架中支付长度至少为 $b’$ 的垂直线段，因为 $b’ > b$，总体上会造成损失。
- 所以，最小曼哈顿网络总是代表一个变量赋值，对于该赋值满足的子句，在相应平面只需添加成本至多为 $a$ 的线段（除必要线段外）；对于未满足的子句，需要成本至少为 $b$ 的额外线段。
- 接下来计算最小解的成本，取决于可满足子句的数量。任何 $(3, B2) - SAT$ 公式对于自然数 $l$ 恰好有 $m = 4l$ 个子句和 $3l$ 个变量，每个变量出现四次。根据 $l$ 确定构造中未确定的维度，$a = 15l + 1$，选择 $b = l^3$，$a’ = b’ = l^3 + 1$。
- 计算必要线段的长度：
- 在变量出现的框架（图 5）中，总是有四条全宽的必要水平线段，每条成本为 $b + 3 = l^3 + 3$；若包括可选放置（虚线或实线）的线段，有三条全高的垂直线段，每条成本为 $2b’ + m + 1 = 2l^3 + 4l + 3$。在最小解中，每个变量出现的框架每隔一个需要成本为 $b$ 的虚线水平线段，所以每个框架可计为 $\frac{1}{2}b$。短水平线段（通过 $l_{i,j}’$ 长度为 2）总是需要的。对于 $l_{i,j}’$ 的垂直线段存在不确定性，其上方长度为 $b’$ 的部分总是存在，但下方长度不确定，不过水平连接总是存在，只需担心垂直线段，其长度在 1 到 $m$ 之间。
- 子句平面（图 6）的不确定性最大。若变量框架中的线段放置对应满足当前子句的赋值，除必要线段外，只需长度 $\leq a$ 的左右连接；否则，需要长度为 $b$ 的连接（除 $k_i$ 向前和向右长度为 1 的线段外）。
- 综合所有情况，整个构造的最优解必要成本为 $190l^4 + O(l^3)$，灵活成本主要取决于未满足子句的数量 $\alpha$（由最优赋值确定），在 $16l + \alpha(l^3 + 1)$ 到 $108l^2 + 4l + \alpha(l^3 + 15l + 1)$ 之间。使用 $l^3$ 作为主要维度，那些不确定的小线段数量级较小可忽略。
- 固定一个小的 $\varepsilon’ > 0$，对于足够大的 $l$，最优解的成本在 $190l^4 + \alpha l^3$ 到 $190l^4 + \alpha l^3 + \varepsilon’ l^4$ 之间。
- 应用定理 1 中的公式，$m = 10^{16}n$，即 $l = 254n$。
- 若至少能满足 $(10^{16} - \varepsilon)n$ 个子句（$\alpha \leq \varepsilon n$），相应的最小曼哈顿网络成本至多为：
[
\begin{align }
190l^4 + \varepsilon’ l^4 + \alpha l^3 &\leq ((190 + \varepsilon’)254n + \varepsilon n)l^3\
&= (48260 + \delta)L
\end{align }
]
其中 $\delta = 254\varepsilon’ + \varepsilon$，$L = nl^3 = \frac{l^4}{254}$。
- 若最多能满足 $(10^{15} + \varepsilon)n$ 个子句（$\alpha \geq (1 - \varepsilon)n$），相应的最小曼哈顿网络成本至少为：
[
\begin{align }
190l^4 + \alpha l^3 &\geq (190 \cdot 254n + (1 - \varepsilon)n)l^3\
&\geq (48261 - \delta)L
\end{align }
]

下面是一个表格总结相关参数和成本情况：
|参数|含义|取值|
| ---- | ---- | ---- |
|$a$|最后框架与表示任何变量出现的第一框架之间的距离|$15l + 1$|
|$b$|用于构建中的距离参数|$l^3$|
|$a’$、$b’$|用于构建中的距离参数|$l^3 + 1$|
|必要成本|整个构造的最优解必要成本|$190l^4 + O(l^3)$|
|灵活成本|取决于未满足子句数量 $\alpha$|$16l + \alpha(l^3 + 1)$ 到 $108l^2 + 4l + \alpha(l^3 + 15l + 1)$|

三维最小曼哈顿网络问题解析

4. 总结与应用展望

在三维最小曼哈顿网络问题的研究中，我们通过一系列的构造和分析，深入探讨了其性质和求解的困难程度。

首先，我们明确了关键概念，如关键对和关键长方体，这些概念为后续的构造和分析提供了基础。通过将问题从 3SAT 问题进行归约，我们成功构造了 MMN2 - 3D 实例，展示了如何将逻辑公式转化为几何点集和线段连接问题。

在构造过程中，我们详细分析了垂直框架、变量框架以及它们与子句的交互，明确了不同情况下所需的线段连接和成本。通过合理设置参数，如 $a$、$b$、$a’$ 和 $b’$，我们能够控制不同选择的成本，从而实现对问题的有效建模。

近似性下界的证明进一步揭示了该问题的难度。通过与 $MAX - (3, B2) - SAT$ 问题的关联，我们证明了区分不同成本解的实例是 NP 难的，这为算法设计和优化提供了重要的理论依据。

从应用角度来看，三维最小曼哈顿网络问题在许多领域都有潜在的应用价值。例如，在物流和运输领域，它可以用于优化路径规划，减少运输成本和时间。在城市规划中，可以帮助设计高效的道路网络，提高城市的交通效率。

在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求进行相应的调整和优化。以下是一些可能的应用步骤：
1. 问题建模 ：将实际问题抽象为三维最小曼哈顿网络问题，确定点集和目标函数。
2. 参数设置 ：根据实际情况选择合适的参数，如 $a$、$b$、$a’$ 和 $b’$，以反映不同连接的成本。
3. 实例构造 ：按照我们介绍的构造方法，将问题转化为 MMN2 - 3D 实例。
4. 求解算法选择 ：根据问题的规模和复杂度，选择合适的求解算法。由于该问题是 NP 难的，可能需要使用近似算法或启发式算法。
5. 结果分析 ：对求解结果进行分析，评估其合理性和有效性，并根据实际情况进行调整。

下面是一个 mermaid 流程图，展示实际应用的主要步骤：

graph LR
    A[实际问题] --> B[问题建模]
    B --> C[参数设置]
    C --> D[实例构造]
    D --> E[求解算法选择]
    E --> F[结果分析]
    F --> G{是否满足需求}
    G -- 是 --> H[应用结果]
    G -- 否 --> C