50、三维最小曼哈顿网络问题与形状匹配随机采样算法解析

三维最小曼哈顿网络问题与形状匹配随机采样算法解析

三维最小曼哈顿网络问题

三维最小曼哈顿网络问题（MMN）在计算几何领域具有重要地位。相关研究表明，MMN2 - 3D 和 MMN3D 问题不仅是 NP 难问题，而且不存在多项式时间近似方案。具体来说，对于三维最小曼哈顿网络问题，除非 P = NP，否则不存在近似比为 1 + 2 · 10⁻⁵ 或更好的多项式时间近似算法。

不过，在近似算法方面有一定进展。可以将任何 MMN2D 的近似算法用于 MMN2 - 3D。例如，对于每个多项式时间 α - 近似的 MMN2D 算法，存在一个多项式时间 2α - 近似的 MMN2 - 3D 算法。其具体操作步骤如下：
1. 在至少有两个点的任何轴平行平面上运行给定的算法。
2. 将所有得到的部分解组合在一起。

由于所有关键长方体都假设为矩形，这样能产生一个有效的解。与给定算法相比，运行时间最多增加 O(n)，因为每个点属于三个轴平行平面，所以最多需要考虑 3/2n 个平面。对于近似比，考虑一个最优解 Sopt，在每个考虑的平面 E 中，Sopt 和 E 的交集 SE 给出一个可行解，算法在该平面的解 AE 最多比 SE 贵 α 倍。将所有 AE 组合起来，最坏情况下它们是不相交的，而组合所有 SE 时，Sopt 中的每条线最多被计算两次，因此 AE 成本的总和最多是 Sopt 成本的 2α 倍。

目前已经有一个 2.5 - 近似的 MMN2 - 3D 算法，这是因为存在一个未发表的 1.25 - 近似的 MMN2D 算法。

形状匹配随机采样算法

在计算机视觉和模式识别中，确定两个平面形状之间的相似度是一个核心问题，通常需要先尽可能好地匹配这两个形状。这里考虑的允许变换集合包括平移、刚体运动和相似变换，为此提出了一种基于随机采样的通用概率算法来匹配由曲线集合建模的形状。该算法适用于这三种变换类别，并且分析了算法优化的相似度度量，并给出了在指定概率内获得指定近似最优匹配所需的样本数量的严格界限。

概率算法步骤

该算法的具体步骤如下：
1. 从形状 A 和 B 中获取随机样本 SA 和 SB，并记录相应的 δ 区域。
2. 多次重复这个实验，假设重复 N 次。
3. 返回 T 中被最多 δ 区域覆盖的点作为良好变换的候选点。

不同变换类别的随机样本和 δ 区域情况如下表所示：
| 变换类别 | 随机样本 | δ 区域 |
| ---- | ---- | ---- |
| 平移 | 每个形状的一个随机点 | 平移向量的 δ 邻域 |
| 刚体运动 | 每个形状的一个随机点 | 满足 dist(M · b + v, a) ≤ δ 的 (M, v) 集合 |
| 相似变换 | 每个形状的两个随机点 | 由代数曲面或平行超平面界定的区域 |

算法分析

• 变换空间中的命中概率 ：算法优化的相似度度量通过命中概率 pδ(t) 来衡量，它表示变换向量 t 被随机选择的样本对应的 δ 区域覆盖的概率。对于不同的变换类别，最大化 Mδ(t) 的勒贝格测度意味着找到能使两个形状的大部分部分彼此靠近的变换。参数 δ 控制着匹配质量和匹配部分大小之间的权衡，较小的 δ 会找到使两个形状几乎全等部分相互映射的变换，而较大的 δ 会给出一个大致匹配但覆盖形状较大部分的变换。
• 命中概率的近似 ：为了在变换空间中近似函数 pδ(t)，考虑 δ 区域的排列，所有在同一单元格中的变换具有相同的区域覆盖。通过定理 1 可知，对于给定的两个形状 A 和 B，在一定条件下，经过 N 次随机实验后，能以至少 1 - η 的概率保证 |˜pδ(tapp) - pδ(topt)| ≤ εpδ(topt)。这里的 N 满足一定的条件，与形状的总长度、曲线数量、容忍值 δ 以及所需的近似精度 ε 和概率 η 有关。

算法的运行时间由生成 N 个随机样本的时间 Tgen(n, N) 和确定 N 个 δ 区域排列深度的时间 Tdepth(N) 组成。生成随机样本的时间为 O(n + N log n)，确定排列深度的时间为 O(N d + 1)。

mermaid 格式流程图如下：

graph TD;
    A[开始] --> B[获取随机样本 SA 和 SB];
    B --> C[记录相应的 δ 区域];
    C --> D{是否重复 N 次};
    D -- 否 --> B;
    D -- 是 --> E[返回被最多 δ 区域覆盖的点];
    E --> F[结束];

综上所述，三维最小曼哈顿网络问题在近似算法上有一定成果，但仍有进一步研究的空间，如将下界转移到 MMN2D 以及开发更好的 MMN3D 近似算法。形状匹配随机采样算法为解决形状相似度匹配问题提供了一种有效的方法，通过严格的理论分析保证了算法的性能。

三维最小曼哈顿网络问题与形状匹配随机采样算法解析（续）

三维最小曼哈顿网络问题展望

虽然已经有了关于三维最小曼哈顿网络问题的一些近似算法成果，但仍有许多待解决的问题。

一方面，将三维问题的下界转移到 MMN2D 似乎比较困难。从构造分析来看，在二维情况下很难像在三维的子情况中那样，将独立选择（变量的选择）的效果进行组合。因为在二维中，所有点对都需要通过最短路径连接的要求，限制了不同信息（放置选择的效果）在一个平面中相互独立传递的能力。

另一方面，对于 MMN3D 的近似算法需求迫切。有两种可能的方向：
1. 算法适配 ：预计至少 [9] 中的算法可以适配到三维情况，但不是简单的适配，并且近似比最多为 8，因为需要处理八面体而不是象限。
2. 问题简化 ：通过引入辅助点将 MMN3D 简化为 MMN2 - 3D。然而，不清楚如何将由此产生的成本限制在最优值的某个倍数范围内。

形状匹配随机采样算法进一步探讨

不同变换类别的特点对比

不同的变换类别在形状匹配中各有特点，具体对比如下表所示：
| 变换类别 | 样本数量 | 变换空间维度 | 直观意义 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 平移 | 1 个点 | 2 维 | 使两个形状在平面上移动到最接近的位置 |
| 刚体运动 | 1 个点 | 3 维 | 除了平移，还包括旋转，能更好地匹配有旋转关系的形状 |
| 相似变换 | 2 个点 | 4 维 | 不仅有平移和旋转，还包括缩放，适用于形状大小不同但相似的情况 |

算法的实际应用与改进

该算法虽然在理论上有严格的分析，但在实际应用中可能需要进行一些改进。在 EU 资助的 PROFI 项目中开发的形状检索系统里，对该算法进行了修改并结合了启发式方法。其主要应用场景是与工业合作伙伴合作，识别大型商标数据库中新商标设计与现有商标之间的（非法）相似性。

在实际应用中，还可以考虑以下可能的改进方向：
1. 自适应 δ 值 ：根据形状的特点和匹配需求，动态调整 δ 值，而不是固定一个 δ 值进行匹配。
2. 多尺度采样 ：采用不同尺度的随机样本进行采样，以获得更全面的形状信息。

算法复杂度分析总结

算法的复杂度主要取决于生成随机样本和确定 δ 区域排列深度的时间。生成随机样本的时间 Tgen(n, N) = O(n + N log n)，确定排列深度的时间 Tdepth(N) = O(N d + 1)，其中 n 是形状中曲线的数量，N 是实验重复次数，d 是变换空间的维度。

mermaid 格式流程图展示算法复杂度与各因素的关系：

graph TD;
    A[n: 曲线数量] --> B[Tgen(n, N)];
    C[N: 实验重复次数] --> B;
    C --> D[Tdepth(N)];
    E[d: 变换空间维度] --> D;
    B --> F[总运行时间];
    D --> F;

总结

三维最小曼哈顿网络问题和形状匹配随机采样算法都在计算几何和计算机视觉领域有着重要的研究价值。三维最小曼哈顿网络问题在近似算法方面已经取得了一些进展，但仍面临着将下界转移和开发更好近似算法的挑战。形状匹配随机采样算法通过随机采样和投票机制，为形状相似度匹配提供了一种有效的解决方案，并且在理论上有严格的分析保证算法性能。在实际应用中，对算法进行适当的改进可以更好地满足实际需求。未来的研究可以围绕这些问题展开，进一步推动相关领域的发展。

通过对这两个问题的研究，我们不仅可以深入理解计算几何中的复杂问题，还能为计算机视觉和模式识别等领域的实际应用提供更有效的算法和方法。

列表总结本文要点：
1. 三维最小曼哈顿网络问题是 NP 难问题，已有 2.5 - 近似的 MMN2 - 3D 算法，但仍有改进空间。
2. 形状匹配随机采样算法基于随机采样和投票机制，适用于平移、刚体运动和相似变换。
3. 算法分析给出了样本数量和运行时间的严格界限，实际应用中可进行自适应 δ 值和多尺度采样等改进。
4. 未来研究可聚焦于将三维问题下界转移、开发更好的 MMN3D 近似算法以及对形状匹配算法的进一步优化。