32、广义稳定分配问题算法解析

广义稳定分配问题算法解析

1. 广义稳定分配问题基础概念

在广义稳定分配问题（GSAP）中，虚拟机器是唯一输入分配不受约束的机器，其他所有机器在任何可行分配中都必须被完全分配。

一个分配 $x$ 是稳定的，需满足可行且不包含阻塞对。阻塞对 $(i, j) \in E$ 需满足 $x(i, j) < u(i, j)$，存在机器 $j’ < j$ 使得 $x(i, j’) > 0$，且存在作业 $i’ < i$ 使得 $x(i’, j) > 0$。直观来讲，如果作业 $i$ 和机器 $j$ 都更愿意将一些不太偏好的分配切换到边 $(i, j)$ 上，并且有增加 $x(i, j)$ 的空间，那么 $(i, j)$ 就是一个阻塞对。

传统上，稳定匹配问题是基于完整偏好列表定义的，即 $E = [I] \times [J]$。在我们的问题中，虽然可以将每个偏好列表扩展为完整列表，但实际上这是不必要的，因为任何使用额外边的分配都会因与虚拟机器形成阻塞对而变得不稳定。所以，我们可以认为实例具有完整偏好列表，但在实际操作中可以忽略不在 $E$ 中的额外边。

一个分配 $x$ 是作业最优的，如果对于每个作业 $i$，描述 $i$ 的分配的向量（按 $i$ 的偏好列表排序）在所有稳定分配中按字典序最大。对于 GSAP 的每个实例，都存在一个稳定的、作业最优的分配。

2. 算法结果概述

为了解决 GSAP 问题，我们将开发一个时间复杂度为 $O(m \log n)$ 的算法。首先会介绍相对简单的 Gale - Shapley（GS）算法，该算法在最坏情况下时间复杂度为指数级，但它的分析为后续分析提供了许多必要