24、适当区间图的随机生成与枚举

适当区间图的随机生成与枚举

1. 基本概念

• 可逆适当区间图 ：若一个连通适当区间图 $G$ 的字符串表示是可逆的，则称 $G$ 是可逆的。若 $G$ 是不连通的，可通过排列其连通分量得到多个不同的字符串表示。
• 规范字符串表示 ：给定适当区间图 $G$ 的区间表示 $\sigma$，两个字符串表示 $s(\sigma)$ 和 $\overline{s(\sigma)}$ 中较小的那个称为规范的。若 $s(\sigma)$ 可逆，则 $s(\sigma)$ 就是规范字符串表示。此后，有时会将连通适当区间图 $G$ 与其规范字符串表示等同起来。
• 字符串的高度 ：对于长度为 $n$ 的字符串 $x = x_1x_2\cdots x_n$，定义高度 $h_x(i)$（$i \in {0, 1, \cdots, n}$）如下：
• $h_x(0) = 0$；
• 若 $x_i = ‘[’$，则 $h_x(i)=h_x(i - 1)+1$；否则 $h_x(i)=h_x(i - 1)-1$。
• 若 $\min_{i} {h_x(i)} = 0$，则称字符串 $x$ 是非负的。

2. 字符串与适当区间图的关系

• 观察 1 ：
• 设 $x = x_1x_2\cdots x_{2n}$ 是长度为 $2n$ 的字符串，$x$ 是（不一定连通的）适当区间图的字符串表示，当且仅当 $x