18、图着色与 5 - 正则平面图的递归生成研究

图着色与 5 - 正则平面图的递归生成研究

图着色相关研究

在图论研究中，图着色是一个重要的领域。研究人员引入了图的共线着色概念，并提出了一种可应用于任何图 $G$ 的共线着色算法。同时，还定义了两个图的性质，即 $\chi$-共线性质和 $\alpha$-共线性质。

这为图论的进一步研究提供了新的方向。例如，研究完全由 $\chi$-共线或 $\alpha$-共线性质所刻画的图，将有助于深入理解图的内在结构和特性。另外，探究共线色数与其他着色数（如和谐数和消色数）在各类图中的关系，也具有重要的理论意义。

5 - 正则平面图的递归生成

研究背景与目标

根据欧拉公式，简单平面图的平均度数小于 6，因此正则简单平面图的度数最多为 5。虽然对于 3 - 正则和 4 - 正则简单平面图的结构已有较多研究，但关于 5 - 正则的情况相关文献较少。研究的目标是给出所有连通 5 - 正则简单平面图（CSPG5）的递归构造方法，其证明采用了人类逻辑与计算逻辑的创新结合。

基本概念

• CSPG5 ：指嵌入在球面上的连通 5 - 正则简单图，不区分外部面。其对偶图是最小度数至少为 3 的连通平面图，每个面由 5 条边围成，且任意两个面的边界共享的边不超过一条，但对偶图不一定是简单图。
• 递归生成 ：设 $C$ 是一类平面图，$S$ 是 $C$ 的子集，$F$ 是从 $C$ 的子集到幂集 $2^C$ 的映射集合。若对于 $C$ 中的每个图 $G$，都存在一个序列 $G_1, G_2, \cdots, G