17、工程应用中的线性与非线性回归分析

工程应用中的线性与非线性回归分析

1. 曲率半径的确定

曲率半径由函数 (f(x, y) = p_4 x^2 + p_5 y^2 + p_6 x y) 确定，该函数可表示为矩阵形式：
[f(x, y) = \begin{pmatrix}x \ y\end{pmatrix}^T\begin{pmatrix}p_4 & p_6/2 \ p_6/2 & p_5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \ y\end{pmatrix}]
若 (\lambda_i) 和 (\vec{e}_i) 是对称矩阵 (A = \begin{pmatrix}p_4 & p_6/2 \ p_6/2 & p_5\end{pmatrix}) 的两个特征值和特征向量，则任意向量 ((x, y)^T) 可写成 (t\vec{e}_1 + s\vec{e}_2) 的形式，且 (f(x, y) = \lambda_1 t^2 + \lambda_2 s^2)。两个主曲率半径分别为：
[R_1 = -\frac{1}{2\lambda_1}]
[R_2 = -\frac{1}{2\lambda_2}]
以下是 Octave 代码实现：

F2 = [ones(size(x)) x y x.^2 y.^2 x.*y];
[p,e_var,r,p_var] = LinearRegression(F2,z);
RadiusNew = -0.5./eig([p(4), p(6)/2;p(6)/2,p(5)])

计算结果为 (R_1 \approx 2