30、测量系统中的信号处理与转换

测量系统中的信号处理与转换

在测量系统中，信号处理和转换是至关重要的环节，它涉及到从模拟信号到数字信号的转换，以及对测量数据的处理和分析。下面将详细介绍相关的技术和方法。

1. A/D和D/A转换器的参考源要求

在使用n位A/D和D/A转换器对电压信号进行数字化或重建时，参考源的温度稳定性和噪声是关键因素。例如，对于分辨率为2⁻ⁿ的转换器，如果允许数字信号以1 LSB值变化，那么参考源的温度稳定性和噪声不应超过这个范围。以16位分辨率为例，在给定温度范围内，参考电压的温度变化不应大于1.5 × 10⁻⁵，有效噪声值也不应超过此限制。

为了衡量A/D和D/A测量系统中参考电压源噪声和其他噪声源的影响，定义了有效分辨率（ER）。对于A/D系统，其有效分辨率由电压范围与输出数字信号噪声分量有效值的比值确定，公式如下：
[ER = \log_2\left(\frac{U_{FS}}{U_{n}}\right)]

A/D和D/A系统的有效分辨率总是小于其标称分辨率，且大于有效位数（ENOB），而ENOB还与频率有关。例如，一个16位的A/D系统在给定数字化信号频率下，有效分辨率可达15位，有效位数在12.5 - 13.5位之间。

常见参考电压源的参数如下表所示：
| 工作原理 | 类型 | 标称电压 | 温度系数 | RMS噪声 |
| — | — | — | — | — |
| 温度补偿齐纳二极管 | LTC 1021 - 10 | 10.00 V | 50 mV/K | 3.5 mV |
| 温度补偿齐纳二极管 | LM 199 | 6.95 V | 5 mV/K | 3 mV |
| 双极晶体管BE结 | REF 195 (6) | 2.048 V (4.096 V) | 5 mV/K | 5 mV |
| 单极晶体管GS结 | ADR 291 | 2.5 V | 12 mV/K | 8 mV |
| 单极晶体管GS结 | ADR35xx | 2.5 V, 5 V | 7 mV/K | 16 mV |
| 单极晶体管GS结 | ADR45xx | 2.5 V, 5 V | 7 mV/K | 10 mV |

2. 重复测量的数据处理

在对一个或多个量进行重复测量时，根据国际标准化组织（ISO）的建议，测量量的最可能值被认为是其平均值，计算公式为：
[X_s = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}X_i]
其中，(N) 是连续测量值的数量。

测量量确定的不确定性由各测量值与其平均值的平方偏差的平均值决定，称为均方偏差，公式如下：
[\sigma = \sqrt{\frac{1}{N - 1}\sum_{i = 1}^{N}(X_i - X_s)^2}]
理论上，通过 (N) 次独立测量，均方偏差可以按 (1/\sqrt{N}) 的比例减小。但实际上，由于测量结果之间的部分相关性，这个比例可能会更小。

当进行大量独立测量（如数百到数千次）时，测量值的频率（概率密度）可以用正态（高斯）分布来定义：
[f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2}\right)]
其中，(\mu \approx X_s) 是平均值，(\sigma) 是标准差。

概率密度 (f(x)) 与随机变量 (x) 在区间 ((x_1, x_2)) 内的概率关系为：
[p(x_1, x_2) = \int_{x_1}^{x_2}f(x)dx]

在技术实践中，通常要求测量值的出现概率（即显著性水平）在指定区间内变化。常用的区间是 (\alpha = \pm2\sigma) 或 (\pm3\sigma)，在这些区间内测量值出现的概率分别为95%和99.8%。具体概率如下表所示：
| (\alpha) | (\mu \pm a \cdot s) | 概率 |
| — | — | — |
| 0.674 | - | 0.500 |
| 1.000 | - | 0.683 |
| 1.645 | - | 0.900 |
| 2.000 | - | 0.950 |
| 3.010 | - | 0.998 |

如果可用的测量次数 (N) 较少（如只有几十次），则更适合使用学生分布来确定均方偏差。学生分布的概率密度由以下方程定义：
[f(x) = \frac{\Gamma\left(\frac{N + 1}{2}\right)}{\sqrt{N\pi}\Gamma\left(\frac{N}{2}\right)}\left(1 + \frac{x^2}{N}\right)^{-\frac{N + 1}{2}}]
其中，(\Gamma(N)) 是伽马函数，(\Gamma(N) = (N - 1)!)。

学生分布的均方偏差为：
[\sigma = \sqrt{\frac{N}{N - 2}}]
当 (N > 20) 时，学生分布的性质与正态高斯分布几乎没有差异。

多个变量函数依赖关系的均方偏差可以通过这些函数依赖关系的偏导数之和来确定。例如，对于两个测量量 (A) 和 (B) 的均方偏差 (\sigma(A)) 和 (\sigma(B))，它们的和或差的均方偏差为：
[\sigma_{A \pm B}^2 = \sigma(A)^2 + \sigma(B)^2]
如果函数依赖关系由测量量的乘积或商确定，则相应的均方偏差计算公式如下：
[\sigma_{A \cdot B}^2 = \mu_B^2\sigma(A)^2 + \mu_A^2\sigma(B)^2]
[\sigma_{A / B}^2 = \frac{\sigma(A)^2}{\mu_B^2} + \frac{\mu_A^2\sigma(B)^2}{\mu_B^4}]

3. 时域信号处理

时域信号处理包括确定信号的均值和有效值、交变信号的周期、信号的相关性和自相关性等。

3.1 信号均值和有效值的确定

信号的均值（MV）通过信号样本值的简单求和来确定：
[Y_M = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i]
除了简单平均值，还使用移动平均值（MA），其定义为给定文件中信号样本的平均值，先前的信号样本逐渐被后续样本取代：
[Y_{MA} = \frac{1}{N}\sum_{i = j}^{j + N - 1}w_iy_i]
其中，(w_i) 是第 (i) 个样本的权重。根据权重的不同，可分为简单移动平均（SMA，(w_i = 1)）、二进制步进移动平均（BSMA，(w_i = 2^n)）和指数移动平均（EMA，(w_i = e^{-n})）。

信号的均方根（RMS）值定义为给定数据集中样本的均方根：
[Y_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i^2}]

当确定周期信号的均值和有效值时，如果信号的周期时间 (T_p) 不是采样信号周期时间 (T_s) 的整数倍，即非相干采样，且从信号的一个周期中采集的样本数量 (N) 较少，可能会导致误差，误差可近似由以下方程确定：
[\Delta X_{MA} \approx \frac{y_{N + 1} - y_N}{2}]
[\Delta X_{RMS} \approx \frac{y_{N + 1}^2 - y_N^2}{2}]

确定周期信号的周期时间时，其不确定性由采样信号的周期决定：
[\Delta T_p = \pm 2T_s]
为了更准确地确定周期时间，可以使用相邻样本 (N) 和 (N + 1) 之间的线性插值，公式如下：
[T_p = T_{pN} + \Delta T_p = T_{pN} + \frac{y(t_{N + 1}) - y(t_N)}{y(t_{N + 1}) - y(t_N)}T_s]

如果信号是严格周期性的，其均值、有效值和周期时间可以从一个周期中确定。如果对信号进行 (M) 个周期的采样，在样本值方差不相关（即统计独立）的假设下，这些参数确定的方差可以按 (1/\sqrt{M}) 的比例减小。

与周期信号的均值和RMS值相关，可以确定其波峰因数（CF）和波动形状因数（FF）：
[CF = \frac{Y_m}{Y_{RMS}}]
[FF = \frac{Y_{RMS}}{Y_M}]
常见周期信号的参数如下表所示：
| 信号 | (U_M) | (U_{RMS}) | (CF) | (FF) |
| — | — | — | — | — |
| 正弦波 | (2U_m/\pi) | (U_m/\sqrt{2}) | (1/\sqrt{2}) | (\pi/2\sqrt{2}) |
| 三角波 | (U_m/2) | (U_m/\sqrt{3}) | (\sqrt{3}) | (2/\sqrt{3}) |
| 脉冲波 | (U_m) | (U_m) | 1 | 1 |

3.2 插值

插值是在测量值之间插入额外值，以提高幅度分辨率和时变信号的时间分辨率。插值与逼近的区别在于，所求曲线通过所有测量点，而外推则是确定函数在已知值区间外的近似值。

多项式牛顿插值常用于波形插值：
[N(x) = a_0 + a_1(x - x_0) + a_2(x - x_0)(x - x_1) + \cdots + a_n(x - x_0)(x - x_1)\cdots(x - x_{n - 1})]
其中，(a_i) 是相邻信号样本之间的相对差异。

线性插值中，相邻点用直线连接，差异成正比：
[a_1 = \frac{y(x_{i + 1}) - y(x_i)}{x_{i + 1} - x_i}]
二次插值中，相邻点用抛物线连接，差异成正比：
[a_2 = \frac{y[x_{i + 1}, x_{i + 2}] - y[x_i, x_{i + 1}]}{x_{i + 2} - x_i}]

除了多项式插值，拉格朗日插值多项式也用于波形插值：
[L(x) = \sum_{i = 0}^{n}y(x_i)L_i(x)]
其中，拉格朗日系数 (L_i(x)) 为：
[L_i(x) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n}\frac{x - x_j}{x_i - x_j}]

通常使用二阶到四阶的拉格朗日多项式，因为高阶多项式难以解释，且效果提升不显著。拉格朗日多项式在生成信号的直接数字合成（DDS）中应用广泛，与牛顿插值多项式相比，它在插值点处的左右导数相同，能显著减少生成波形的高次谐波分量。

3.3 逼近

逼近的任务是将函数依赖关系拟合到一个逼近函数中，使逼近函数与被逼近函数的各个值之间的差异最小。通常使用最小二乘法（MSE）进行计算。

对于给定的函数依赖关系 (y_i)（(i = 1, 2, \cdots, k)）在点 (x_i) 处的值，可以使用 (k + 1) 阶多项式进行逼近：
[P(x) = \sum_{i = 0}^{k}p_ix^i]
选择系数 (p_0, \cdots, p_k) 使得偏差平方和最小：
[F(p_0, p_1, \cdots, p_k) = \sum_{i = 1}^{k}(y_i - P(x_i))^2]
通过求 (F(p_0, p_1, \cdots, p_k)) 的零偏导数，可以确定逼近多项式 (P(x)) 的系数。

最常用的回归函数是直线，即线性回归：
[P(x) = p_0 + p_1x]
为了找到偏差平方和的最小值，对函数进行偏导数计算，得到一个二元方程组：
[\begin{cases}p_1\sum_{i = 1}^{n}x_i + p_0n = \sum_{i = 1}^{n}y_i\p_1\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 + p_0\sum_{i = 1}^{n}x_i = \sum_{i = 1}^{n}x_iy_i\end{cases}]
解方程组可得回归直线的参数：
[p_1 = \frac{n\sum_{i = 1}^{n}x_iy_i - \sum_{i = 1}^{n}x_i\sum_{i = 1}^{n}y_i}{n\sum_{i = 1}^{n}x_i^2 - (\sum_{i = 1}^{n}x_i)^2}]
[p_0 = \frac{\sum_{i = 1}^{n}y_i - p_1\sum_{i = 1}^{n}x_i}{n}]

基于线性回归，函数依赖关系可以用幂函数或指数函数进行逼近。如果回归函数是幂函数 (y = ax^b)，取对数后 ( \ln y = \ln a + b\ln x)，可以使用线性回归方法，通过系数 (c) 确定 (a = e^c)。如果回归函数是指数函数 (y = ab^x)，取对数后 ( \ln y = \ln a + x\ln b)，同样可以使用线性回归方法，确定系数 (a = e^c) 和 (b = e^d)。

逼近的质量由均方根偏差（RMSD）和回归系数 (R) 来确定：
[\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(y_i - y_{ia})^2}]
[R = 1 - \sigma]

3.4 相关性和自相关性

相关性可以比较信号的时间历程，通过信号的相似性确定其周期性、信号之间的延迟，甚至在严重干扰的信号中识别所需信号。

两个信号的相关性定义为：
[R_{f(x), g(x)}(k) = \frac{1}{N}\sum_{i = 0}^{N - 1 - k}f(x_i)g(x_{i + k})]
相关性由一个参考信号样本与另一个相关信号样本（延迟 (k) 个样本）的乘积之和给出。

自相关性用于确定信号在不同部分的波形相似性：
[R_{f(x)}(k) = \frac{1}{N}\sum_{i = 0}^{N - 1 - k}f(x_i)f(x_{i + k})]
自相关性的最大值总是对应于系数 (k = 0)，即相关波形部分之间的零延迟。

为了更准确地确定两个信号之间的周期时间 (T_p)，需要使用比采样信号周期 (T_s) 对应的最小样本数多得多的样本：
[N_{min} \gg \frac{T_p}{T_s}]
这样可以避免可能的误检测，因为此时相关函数中会出现多个由分析信号周期分隔的最大值。

为了评估相关性程度，使用皮尔逊相关系数：
[CF_{f(x), g(x)} = \frac{\sum_{i = 1}^{N}(f(x_i) - \overline{f})(g(x_i) - \overline{g})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{N}(f(x_i) - \overline{f})^2\sum_{i = 1}^{N}(g(x_i) - \overline{g})^2}}]

综上所述，测量系统中的信号处理和转换是一个复杂而重要的领域，涉及到多个方面的技术和方法。通过合理选择和应用这些技术，可以提高测量的准确性和可靠性。

测量系统中的信号处理与转换

4. 信号处理流程总结

为了更清晰地展示测量系统中信号处理的整体流程，下面通过一个 mermaid 流程图来呈现：

graph LR
    classDef process fill:#E5F6FF,stroke:#73A6FF,stroke-width:2px;

    A(模拟信号):::process --> B(信号转换):::process
    B --> C{A/D转换}:::process
    C -->|是| D(数字信号):::process
    C -->|否| B
    D --> E(数据处理):::process
    E --> F{时域处理?}:::process
    F -->|是| G(均值、有效值等计算):::process
    F -->|否| H(频域处理):::process
    G --> I(结果分析):::process
    H --> I
    I --> J(信号重建):::process
    J --> K{D/A转换}:::process
    K -->|是| L(模拟信号输出):::process
    K -->|否| J

这个流程图展示了从模拟信号输入开始，经过信号转换、A/D 转换成为数字信号，然后进行数据处理（包括时域和频域处理），接着进行结果分析，最后通过 D/A 转换将处理后的信号以模拟信号形式输出的完整过程。

5. 关键技术点分析

在上述信号处理和转换过程中，有几个关键的技术点需要深入分析：

5.1 A/D 和 D/A 转换器参考源的选择

参考源的温度稳定性和噪声对 A/D 和 D/A 转换器的性能至关重要。在选择参考源时，需要根据转换器的分辨率要求来确定参考源的参数。例如，对于高分辨率的 16 位转换器，参考电压的温度变化在给定温度范围内不应大于 (1.5 \times 10^{-5})，有效噪声值也不应超过此限制。可以通过对比不同类型参考源的参数（如温度补偿齐纳二极管、双极晶体管 BE 结、单极晶体管 GS 结等），结合实际应用场景来选择最合适的参考源。

5.2 数据处理方法的应用

• 重复测量数据处理 ：在重复测量中，根据测量次数的多少选择合适的分布来确定均方偏差。当测量次数较多时，使用正态（高斯）分布；当测量次数较少时，使用学生分布。同时，要注意测量结果之间的相关性对均方偏差减小比例的影响。
• 时域信号处理 ：在时域信号处理中，确定信号的均值、有效值和周期时间时，要考虑非相干采样和采样样本数量对结果的影响。例如，非相干采样可能导致误差，可通过线性插值等方法提高周期时间的测量准确性。在插值和逼近方面，不同的方法有不同的特点和适用场景。多项式牛顿插值和拉格朗日插值多项式可用于提高信号的分辨率，而最小二乘法可用于函数逼近，根据具体需求选择合适的方法。
• 相关性和自相关性分析 ：相关性和自相关性分析可以帮助确定信号的周期性和信号之间的延迟。在实际应用中，为了准确确定周期时间，需要使用足够多的样本，避免误检测。同时，皮尔逊相关系数可用于评估相关性程度。

6. 实际应用案例

下面通过一个简单的实际应用案例来进一步说明上述技术和方法的应用。

假设我们要测量一个周期性的电压信号，该信号的频率为 (f = 100 Hz)，采样频率为 (f_s = 1000 Hz)。

6.1 数据采集

使用 A/D 转换器对信号进行采样，采集 (N = 100) 个样本。由于采样频率是信号频率的 10 倍，属于相干采样，理论上可以准确测量信号的参数。

6.2 数据处理

• 均值和有效值计算 ：根据公式计算信号的均值和有效值。
  [Y_M = \frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i]
  [Y_{RMS} = \sqrt{\frac{1}{N}\sum_{i = 1}^{N}y_i^2}]
• 周期时间确定 ：由于是相干采样，周期时间 (T_p = \frac{1}{f} = 10 ms)，测量的不确定性 (\Delta T_p = \pm 2T_s = \pm 2 ms)。为了更准确地确定周期时间，可以使用相邻样本之间的线性插值。
• 相关性分析 ：通过计算信号的自相关性，确定信号的周期性。自相关性公式为：
  [R_{f(x)}(k) = \frac{1}{N}\sum_{i = 0}^{N - 1 - k}f(x_i)f(x_{i + k})]
  如果自相关性函数在 (k) 为信号周期对应的样本数时出现最大值，则可以确定信号的周期性。

6.3 信号重建

使用 D/A 转换器将处理后的数字信号转换为模拟信号输出，完成整个测量和处理过程。

7. 总结

测量系统中的信号处理和转换涉及到多个方面的技术和方法，包括 A/D 和 D/A 转换器的参考源要求、重复测量的数据处理、时域信号处理（均值和有效值确定、插值、逼近、相关性和自相关性分析）等。通过合理选择和应用这些技术，可以提高测量的准确性和可靠性。在实际应用中，要根据具体的测量需求和信号特点，选择合适的处理方法和参数，以达到最佳的测量效果。同时，通过流程图和实际应用案例的分析，有助于更直观地理解和掌握这些技术和方法。