29、连续信号的数字化与重建

连续信号的数字化与重建

在信号处理领域，连续信号的数字化与重建是至关重要的环节。下面将详细介绍连续信号重建的相关方法、原理以及涉及的关键组件。

1. 信号重建基础

当频率为 1 kHz 的激励谐波信号被重建时，其幅度频谱不仅包含基波分量，还含有频率为 2、3、…、11 kHz 的高次谐波分量。频谱的本底噪声水平（SNHD）为 146 dB，总谐波失真（THD）为 115 dB，这两者共同决定了信号的信纳比（SINAD）为 115 dB，对应数字化信号频率为 1 kHz 时的有效位数为 18.8 位。

2. 连续信号的重建方法

连续信号的重建主要采用插值方法和直接数字合成方法，下面分别进行介绍。

2.1 信号的逐步重建（零阶插值法）

零阶插值法是最常用的连续信号重建方法。在该方法中，重建信号由阶梯状函数生成，其电平对应输入到数模转换器（D/A）的数字信号的值。

重建信号的频谱由脉冲响应 (H_{r0}(\omega)) 的频谱与数字重建信号 (X_{d0}(\omega)) 的频谱的卷积积决定，即：
[Y_{d0}(\omega) = H_{r0}(\omega) * X_{d0}(\omega)]

由于脉冲响应的频谱基于离散傅里叶变换：
[H_{r0}(\omega) = \frac{\sin(\frac{\omega T_s}{2})}{\frac{\omega T_s}{2}} \cdot e^{-j\frac{\omega T_s}{2}}]
其中 (T_s = 1 / \omega_s) 是采样信号的周期，重建信号的频谱可表示为：
[Y_{d0}(\omega) = \sum_{k = -\infty}^{\infty} X_{d0}(\omega - k\omega_s) \cdot \frac{\sin(\frac{(\omega - k\omega_s) T_s}{2})}{\frac{(\omega - k\omega_s) T_s}{2}} \cdot e^{-j\frac{(\omega - k\omega_s) T_s}{2}}]

这种插值的频谱对应于 ±0.5 · (\omega_s) 频段内低通滤波器的传输特性：
[Y_{d0}(\omega) = H_{r0}(\omega) \cdot X_{d0}(\omega) = \frac{\sin(\frac{\omega T_s}{2})}{\frac{\omega T_s}{2}} \cdot e^{-j\frac{\omega T_s}{2}} \cdot X_{d0}(\omega)]

为了无失真地重建信号，可使用一个倒数频率传递滤波器 (H_c(\omega)) 来补偿滤波器幅度频率响应的下降：
[H_c(\omega) = \frac{1}{H_{r0}(\omega)} = \frac{\frac{\omega T_s}{2}}{\sin(\frac{\omega T_s}{2})} \cdot e^{j\frac{\omega T_s}{2}}]

使用具有 (H_c(\omega)) 传输特性的数字滤波器置于重建 D/A 转换器之前，对重建信号的频谱进行校正：
[Y_{c0}(\omega) = H_c(\omega) \cdot H_{r0}(\omega) \cdot X_{d0}(\omega)]

减少重建误差的方法有两种：一是提高采样频率并限制重建信号的频段；二是使用高阶插值，最常用的高阶插值是拉格朗日多项式插值。

下面是零阶插值法的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[数字信号输入] --> B[零阶插值处理];
    B --> C[生成阶梯状重建信号];
    C --> D[频谱计算];
    D --> E[频谱补偿（可选）];
    E --> F[输出重建信号];

2.2 直接数字合成（DDS）

直接数字合成方法用于重建谐波和非谐波信号，它可以合成信号的时间历程、频率和相对于其他信号的相移。

直接数字合成器由相位累加器、数据存储器、数字乘法器、D/A 转换器、滤波器和输出放大器组成，其工作原理如下：
- 相位累加器 ：数字信号决定生成信号相对于采样信号 CLK 的相移，每次采样脉冲到来时，信号相位移动一个周期的时长。
- 数据存储器 ：由相位移动后的信号寻址，其中存储着生成信号的波形，通常为简单正弦波或幅度和频率调制信号。
- 数字乘法器 ：用于设置生成信号的幅度，生成的信号通过 12 - 16 位 D/A 转换器转换为相应的模拟波形，同时也可对存储在数据存储器中的信号进行幅度调制。
- 低通滤波器 ：用于抑制逐步信号重建过程中产生的高次谐波分量。在数百 kHz 的频率范围内，使用高达四阶的有源 RC 滤波器；对于更高频率，使用无源 LC 滤波器。
- 输出放大器 ：对滤波后的信号进行放大。

在逐步重建中，正弦信号在等距时间段 M 内重建，其频谱由基波分量 (f_1 = f_s / M)（(f_s) 为采样频率）和其他高次奇谐波分量 (f_i = (i \cdot M) \pm 1)（(i = 1, 2, …)）组成，各高次谐波分量的幅度随其阶数的倒数减小。

重建信号会受到高次谐波分量的失真影响，总谐波失真（THD）由所有高次谐波分量的有效值 (U_i)（(i = 2, 3, …)）与基波分量有效值 (U_1) 的比值确定：
[THD = \sqrt{\sum_{i = 2}^{\infty} (\frac{U_i}{U_1})^2}]

不同采样点数 M 下，重建正弦信号的频谱特性如下表所示：
| 周期内采样点数 M | 第一对高次谐波 | THD [dB]（无滤波） | THD [dB]（一阶滤波器） | THD [dB]（二阶滤波器） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 4 | 3, 5 | 6.8 | 15.4 | 25.4 |
| 8 | 7, 9 | 13.5 | 29.2 | 46.8 |
| 16 | 15, 17 | 21.2 | 41.7 | 67.4 |
| 32 | 31, 33 | 50.4 | 53.6 | 77.3 |
| 64 | 63, 65 | 54.2 | 65.1 | 90.4 |
| 128 | 127, 129 | 56.3 | 78.2 | 95.1 |
| 256 | 255, 257 | 75.4 | 91.1 | 99.2 |

直接数字合成器的工作流程 mermaid 流程图如下：

graph TD;
    A[相位设置] --> B[相位累加器];
    C[幅度设置] --> D[数字乘法器];
    B --> E[数据存储器];
    E --> D;
    D --> F[D/A 转换器];
    F --> G[低通滤波器];
    G --> H[输出放大器];
    H --> I[输出信号];

3. 数模转换器（D/A）

为了重建快速变化的信号，使用具有相同或加权分级开关电流源的 D/A 转换器。

3.1 相同开关电流源的 D/A 转换器

当电流源 (Z_1) 开启时，电流 (I) 流向处于地电位的运算放大器的反相输入端；当电流源 (Z_2) 开启时，电流 (I) 被分成两部分，一半流向放大器的反相输入端，另一半流向网络的其余部分，其等效电阻为 (R)。

基于这种电流的二进制分配，转换器的输出电压为：
[u_{OUT} = -R \cdot I \cdot \sum_{i = 1}^{n} a_i \cdot 2^{-(i - 1)}]
其中 (a_i)（(i = 1, 2, …, n)）是转换数字信号的位，从最高有效位（MSB）(a_1) 开始，到最低有效位（LSB）结束。

3.2 加权开关电流源的 D/A 转换器

在这种类型的转换器中，电流源由运算放大器和电阻 (R_1) 组成，产生电流 (I_r = U_r / R_1)，驱动晶体管 (T_1 - T_8)，其发射极电流按二进制缩放值 (2^{-n} \cdot U_r / R)（(n = 1, 2, …)）加权缩放。这些电流通过开关 (S_1 - S_n) 切换到互补电流总线，连接到差分运算放大器 (Z_2) 的输入端，反馈电阻 (R_z) 决定转换器的电压范围。

为了提高 D/A 转换器的精度，用组合开关电流源代替简单电流源，并对 BE 结的表面尺寸进行设计，使其达到相同的电流密度，从而实现 BE 晶体管近似相同的过渡温度，提高生成电压的精度和温度稳定性。

通过连接极性电阻 (R_p = 2 \cdot R_1)，可将数字信号转换为双极性输出电压，转换器的输出电压范围为：
[u_{OUT} = \pm \frac{R_z}{R_1} \cdot U_r]
此时，D/A 转换器的输出电压值以偏移二进制形式表示。

4. 参考电压源

参考电压源使用温度补偿的齐纳二极管或温度补偿的 BE 双极晶体管结。

4.1 齐纳二极管参考电压源

埋入式齐纳二极管受两种现象支配：电压低于 6 V 时，具有负温度系数的齐纳现象占主导；电压高于 6 V 时，具有正温度系数的雪崩现象占主导。在齐纳电压约为 6 V 附近，齐纳二极管的温度系数 (a_{ZD}) 近似为零，差分电阻最小。

齐纳二极管参考电压源采用正电压温度系数 (a_{UZD}) 的齐纳二极管与正向连接的具有负电压温度系数 (a_{UD}) 的多个二极管串联的连接方式。总电压 (U_{TCZD}) 及其温度变化 (\Delta U_{TCZD}) 分别为：
[U_{TCZD} = U_{ZD} + N \cdot U_D]
[\Delta U_{TCZD} = a_{UZD} \cdot U_{ZD} + N \cdot a_{UD} \cdot U_D]

连接的总温度系数由下式确定：
[a_{TCZD} = \frac{a_{UZD} \cdot U_{ZD} + N \cdot a_{UD} \cdot U_D}{U_{ZD} + N \cdot U_D}]

例如，将电压 (U_{ZD} = 8) V、温度系数 (a_{UZD} = 5 \cdot 10^{-4} / K) 的齐纳二极管与三个正向电压 (U_D = 0.65) V、电压温度系数 (a_{UD} = -2 \cdot 10^{-3} / K) 的二极管串联，总电压 (U_{TCZD} = 9.95) V，温度系数 (a_{TKZD} = 10^{-5} / K)。将这种温度补偿二极管置于微恒温器中，保持二极管温度约为 35 °C，可实现高达 (10^{-6} / K) 的电压 - 温度系数。

温度补偿的齐纳二极管连接到运算放大器的反馈电路中，以抑制电源电压变化和电流负载对输出电压变化的影响。

4.2 温度补偿的 BE 双极晶体管结参考电压源（带隙参考源）

由一对集电极电流比为 1/N 的双极晶体管组成。假设晶体管 (T_1) 和 (T_2) 相同，电阻 (R_1) 上的电压为：
[\Delta U_{BE} = U_{BE2} - U_{BE1} = U_T \cdot \ln(\frac{I_{C2}}{I_{C1}})]

在集电极电流比 (N = I_{C2} / I_{C1}) 时，电阻 (R_2) 上的电压为：
[U_{R2} = R_2 \cdot I_{C1} \cdot (1 + \frac{R_2}{R_1}) = R_2 \cdot I_{C1} \cdot (1 + \frac{R_2}{R_1}) \cdot U_T \cdot \ln(N)]
其中 (U_T = k \cdot Q / q_e) 是热电压，(Q) 是温度（K），(k = 1.38 \cdot 10^{-23}) [J/K] 是玻尔兹曼常数，(q_e = 1.59 \cdot 10^{-19}) [C] 是电子电荷。

当电压 (\Delta U_k) 的温度变化等于电压 (\Delta U_{BE}) 的温度变化时，电压 (U_1) 满足温度独立性条件：
[\Delta U_{\theta} = \frac{R_2}{R_1} \cdot (1 + \frac{R_2}{R_1}) \cdot \frac{k}{q_e} \cdot \ln(N) = [mV / K]]
该条件在以下等式成立时满足：
[\frac{R_2}{R_1} \cdot (1 + \frac{R_2}{R_1}) \cdot \ln(N) = 23]
满足此条件时，电阻 (R_4) 上的电压为：
[U_1 = U_{BE} + 23 \cdot U_T = 1.205 V]
该电压对应于 300 K（27 °C）时硅的带隙电位，然后通过放大得到：
[U_2 = (1 + \frac{R_5}{R_4}) \cdot U_1]

参考电压源的标称输出电压范围为 1.25 至 10 V，标称输出电流高达 10 mA。

4.3 单极晶体管参考电压源

由一对 JFET 晶体管组成，其差分电压 (U_{GS}) 通过电流源 (I_p) 和电阻 (R_1) 设置为 1.205 V。在该电压下，对应于 27 °C 时 Si 半导体的带宽，电压差 (\Delta U_{GS}) 的温度依赖性为零，因为在不同温度下，两个 JFET 晶体管的 (I_d) 与 (U_{GS}) 的关系曲线在一点相交。

源的输出电压为：
[U_{OUT} = U_{GS} - (R_3 \cdot I_p) + \frac{R_3}{R_4} \cdot \Delta U_{GS}]

这种电压源的功耗明显低于双极晶体管源，因此主要用于电池供电的设备中。

典型参考电压源的参数如下表所示：
| 类型 | 温度稳定性 | 噪声 | 适用场景 |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 齐纳二极管参考源 | 可达 (10^{-6} / K) | 低 | 对温度稳定性要求较高的场合 |
| 带隙参考源 | 较好 | 低 | 通用 D/A 和 A/D 转换 |
| 单极晶体管参考源 | 较好 | 低 | 电池供电设备 |

综上所述，连续信号的数字化与重建涉及多个关键环节和组件，每个部分都对信号的重建质量和性能有着重要影响。通过合理选择重建方法、数模转换器和参考电压源，可以实现高质量的信号重建。

连续信号的数字化与重建（续）

5. 滤波器在信号重建中的应用

在信号重建过程中，滤波器起着至关重要的作用，它能够抑制高次谐波分量，提高信号的质量。下面详细介绍不同类型滤波器的特点和应用。

5.1 低通滤波器的选择

在直接数字合成中，低通滤波器用于抑制逐步信号重建过程中产生的高次谐波分量。对于频率范围在数百 kHz 的信号，通常使用高达四阶的有源 RC 滤波器；而对于更高频率的信号，则采用无源 LC 滤波器。

有源 RC 滤波器中，二阶至八阶的低通滤波器常用于滤波逐步生成的信号，其结构通常基于 Sallen - Key 型二阶滤波器。假设滤波器中的电阻 (R_1 = R_2 = R)，电容 (C_1 = C_2 = C)，则滤波器的直流传输系数 (k) 为：
[k = \frac{R_3}{R_3 + 4R_4}]

该系数决定了滤波器频率（幅度和相位传输频率特性）的近似类型，其频率特性表达式为：
[F_{LP2}(\omega) = \frac{-1}{1 + j \cdot 3 \cdot \frac{\omega}{\omega_0} - (\frac{\omega}{\omega_0})^2}]

不同近似类型的二阶 Sallen - Key 滤波器的直流传输系数如下表所示：
| 近似类型 | 临界阻尼 | Bessel | Butterworth | Chebyshev –3 dB | 稳定极限 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 直流传输系数 (k) | 1000 | 1268 | 1586 | 2234 | 3000 |

从这些特性曲线可以看出：
- Bessel 近似滤波器 ：其过渡特性无过冲，适合高精度、低失真地滤波阶梯状重建信号。
- Butterworth 近似滤波器 ：在滤波质量和对输入电压阶跃变化的时间响应之间提供了良好的折衷。
- Chebyshev 近似滤波器 ：如果优先考虑滤波器的短反应时间，它是一个合适的选择，但在滤波器通带内其幅度频率特性会出现波动，这在某些应用中可能是一个缺陷。

高阶滤波器可以通过串联二阶滤波器来实现，最多可创建八阶滤波器。在一些更复杂的合成器中，除了近似类型，还可以根据生成信号的频率范围设置滤波器的极限频率。

对于频率超过数百 kHz 的范围，使用高达四阶的无源 LC 滤波器，其线圈采用铁氧体磁芯，并针对输入和输出阻抗进行了优化。

下面是滤波器选择的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[信号频率判断] --> B{频率 < 数百 kHz};
    B -- 是 --> C[选择有源 RC 滤波器];
    B -- 否 --> D[选择无源 LC 滤波器];
    C --> E[确定滤波器阶数和近似类型];
    D --> F[选择合适的 LC 滤波器参数];
    E --> G[滤波处理];
    F --> G;
    G --> H[输出滤波后信号];

5.2 滤波器对总谐波失真（THD）的影响

在正弦信号的重建中，滤波器对总谐波失真（THD）有显著影响。THD 由所有高次谐波分量的有效值 (U_i)（(i = 2, 3, …)）与基波分量有效值 (U_1) 的比值确定：
[THD = \sqrt{\sum_{i = 2}^{\infty} (\frac{U_i}{U_1})^2}]

以不同采样点数 (M) 重建正弦信号为例，未滤波和使用不同阶数滤波器后的 THD 如下表所示：
| 周期内采样点数 (M) | 第一对高次谐波 | THD [dB]（无滤波） | THD [dB]（一阶滤波器） | THD [dB]（二阶滤波器） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 4 | 3, 5 | 6.8 | 15.4 | 25.4 |
| 8 | 7, 9 | 13.5 | 29.2 | 46.8 |
| 16 | 15, 17 | 21.2 | 41.7 | 67.4 |
| 32 | 31, 33 | 50.4 | 53.6 | 77.3 |
| 64 | 63, 65 | 54.2 | 65.1 | 90.4 |
| 128 | 127, 129 | 56.3 | 78.2 | 95.1 |
| 256 | 255, 257 | 75.4 | 91.1 | 99.2 |

从表中可以看出，随着滤波器阶数的增加，THD 显著降低，信号质量得到提高。

6. 采样信号频率的数字调整

为了数字调整采样信号的频率 (f_s)，使用锁相环（PLL）。PLL 由频率为 (f_r) 的晶体振荡器 (KO)、分频比为 (1 / N_1) 的分频器 (D_1)、分频比为 (1 / N_2) 的分频器 (D_2)、鉴相器 (PD)、鉴频器 (FD)、滤波器和压控振荡器 (VCO) 组成。

其工作原理如下：
1. 晶体振荡器 (KO) 产生频率为 (f_r) 的信号。
2. 分频器 (D_1) 将信号分频为 (f_r / N_1)，分频器 (D_2) 将 (VCO) 输出信号分频为 (f_2 / N_2)。
3. 鉴相器 (PD) 比较这两个分频后的信号相位。
4. 鉴频器 (FD) 将两个分频器输出信号的频率差转换为电压，经过滤波后控制压控振荡器 (VCO)。
5. 在稳态下，(VCO) 输出数字信号的频率为：
[f_2 = \frac{N_2}{N_1} \cdot f_r]

这种方法可以生成频率范围从数百 Hz 到数百 MHz 的脉冲信号，温度稳定性高达 (10^{-6} / K)，频率稳定性高达 (10^{-3} /) 年。

下面是锁相环（PLL）工作流程的 mermaid 流程图：

graph TD;
    A[晶体振荡器 KO（\(f_r\)）] --> B[分频器 D1（\(1 / N_1\)）];
    C[压控振荡器 VCO（\(f_2\)）] --> D[分频器 D2（\(1 / N_2\)）];
    B --> E[鉴相器 PD];
    D --> E;
    E --> F[鉴频器 FD];
    F --> G[滤波器];
    G --> C;
    C --> H[输出调整后的采样信号];

7. 典型合成器介绍

市场上有多种不同类型的合成器，下面介绍两种典型的合成器。

7.1 双通道合成器 AD 9854

AD 9854 是 Analog Devices 公司的一款双通道合成器，具有以下特点：
- D/A 转换器 ：12 位。
- 最大采样频率 ：300 MS/s。
- 频率分辨率 ：48 位。
- 相位分辨率 ：14 位。
- 谐波失真 ：在 1 MHz 生成谐波信号时，THD < 80 dB。
- 调制功能 ：可以生成幅度、频率和相位调制信号，包括 FSK、BPSK 和 PSK 信号。

7.2 四通道合成器 AD 9959

AD 9959 是一款四通道合成器，其特性如下：
- D/A 转换器 ：10 位。
- 最大采样频率 ：500 MS/s。
- 频率范围 ：0.1 Hz 到 150 MHz。
- 频率分辨率 ：32 位。
- 相位分辨率 ：12 位。
- 谐波失真 ：在 10 MHz 生成谐波信号时，THD < 60 dB。

两种合成器的参数对比表如下：
| 合成器型号 | D/A 转换器位数 | 最大采样频率 | 频率分辨率 | 相位分辨率 | 谐波失真（特定频率） | 通道数 | 调制功能 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| AD 9854 | 12 位 | 300 MS/s | 48 位 | 14 位 | THD < 80 dB（1 MHz） | 2 通道 | 幅度、频率、相位调制（FSK、BPSK、PSK） |
| AD 9959 | 10 位 | 500 MS/s | 32 位 | 12 位 | THD < 60 dB（10 MHz） | 4 通道 | - |

8. 总结

连续信号的数字化与重建是一个复杂的过程，涉及多个关键组件和技术。从信号的重建方法（零阶插值法和直接数字合成）到数模转换器的选择，再到参考电压源的设计以及滤波器的应用，每个环节都对最终的信号质量和性能有着重要影响。

在实际应用中，需要根据具体的需求和场景，合理选择重建方法、数模转换器、参考电压源和滤波器等组件。例如，对于对信号精度要求较高的应用，可以选择高精度的数模转换器和具有良好温度稳定性的参考电压源；对于需要生成复杂调制信号的场景，直接数字合成方法是一个不错的选择。

同时，通过合理调整采样信号的频率和使用合适的滤波器，可以有效降低信号的总谐波失真，提高信号的质量。市场上的各种合成器也为不同的应用提供了多样化的选择。

总之，深入理解连续信号数字化与重建的原理和技术，对于实现高质量的信号处理和应用具有重要意义。