2、原子量子动力学计算方法解析

原子量子动力学计算方法解析

1. 概率分布展开

在遥远的过去，当相互作用项不存在时，系统处于 $\hat{H}_0$ 的任意一个本征态（或者它们的任意组合，即波包）。随后，相互作用项开启，改变了系统的哈密顿量，导致波函数的时间演化超出了无场时仅基于 $\hat{H}_0$ 的演化。在遥远的未来，相互作用消失，系统最终处于一个可以表示为波包的状态，同样用 $\hat{H}_0$ 的本征态来表示。

在时刻 $t$，各个本征态之间的概率分布可以通过从初始态 $\psi(x, t_0)$ 到时刻 $t$ 的另一个态 $\varphi_a(x)$ 的跃迁概率来确定。在时刻 $t$，初始态演化到 $\psi(x, t)$，因此概率振幅可以通过将态 $\varphi_a(x)$ 投影到系统的态 $\psi(x, t)$ 上得到，即：
[P_a(t, t_0) = |C_a(t)|^2 = |\langle\varphi_a(x)|\psi(x, t)\rangle|^2]

我们将 $|C_a(t \to \infty)|^2$ 解释为对无场原子进行能量测量得到 $E_a$ 值的概率。当然，根据量子力学原理，在测量之后，原子会演化到态 $|\varphi_a\rangle$。当脉冲开启时，情况就不那么清晰了，因为原子与场紧密耦合，它们的值取决于所选择的相互作用势的形式。例如，如果我们选择库仑规范或长度规范形式来表示相互作用势，$C_a(t)$ 的时间演化是不同的，因此它们在这两种规范中的物理意义也必然不同。然而，每次相互作用势消失时，它们的值必须相同，即使是在脉冲期间。

到目前为止，我们在外部势的强度和持续时间方面没有进行任何本质的近似，因此在 $\hat{h} <