10、激光场中原子量子动力学计算：时域薛定谔方程的离散化与求解

激光场中原子量子动力学计算：时域薛定谔方程的离散化与求解

1 激光脉冲与TDSE概述

在激光与原子相互作用的研究中，激光脉冲的特性至关重要。例如，无限扩展的高斯脉冲 $f_g(t)$ 是一个非常特殊的情况，其傅里叶变换 $F_g(\omega)$ 也是高斯函数，具体关系为：
[f_g(t) = e^{-C^2(\frac{t}{\tau})} \to F_g(\omega) \sim e^{-(\frac{\omega\tau}{C})^2}]
其中，$1\omega \tau = 2.355 C$。

而研究激光 - 原子相互作用的核心工作方程是时域薛定谔方程（TDSE）。在实际计算中，由于计算机算术的离散性质，需要将连续变化的波函数 $\psi(x, t)$ 替换为离散的量来进行计算。这可以通过两种方式实现：一是在规定的网格点 $x_i$ 上确定波函数的值 $\psi(x_i, t)$；二是确定已知基函数的展开系数 $C_a(t)$。

2 无场TDSE的离散化与求解

2.1 无场TDSE方程

忽略外部时变势，无场TDSE方程为：
[i \frac{\partial}{\partial t} \psi(r, t) = \left[-\frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial r^2} + U(r)\right] \psi(r, t)]
该方程需补充初始条件 $\psi(r, t_0) = \varphi_0(r)$，括号内的量代表系统的哈密顿算符 $\hat{h}_0(r)$。

2.2 边界条件与归一化

传统上，无限