19、多相机估计与校准：原理、方法及挑战

多相机估计与校准：原理、方法及挑战

1. 多相机估计的基本定义

在多相机估计领域，有几个关键的定义需要我们理解。

1.1 同源点族

给定一个视频 $(I)_n = (I_1, \ldots, I_n)$，若存在场景中的点 $X \in \mathbb{RP}^3$，使得对于所有的 $j \in {1, \ldots, n}$，$X$ 在 $I_j$ 中的投影为 $x_j$，那么族 $(x)_n = (x_1, \ldots, x_n)$（其中 $x_i \in \mathbb{RP}^2$）就是与视频 $(I)_n$ 相关联的同源点族。

1.2 同源点矩阵

一个由 $\mathbb{RP}^2$ 元素构成的 $m \times n$ 矩阵 $M$，如果它的每一行都定义了一个与视频 $(I)_n$ 相关联的同源点族，那么 $M$ 就是与视频 $(I)_n$ 相关联的同源点矩阵。同时，$M$ 的第 $j$ 列对应于帧 $I_j$ 的同源点。

1.3 配置

配置是一个二元组 $((P)_n, \Omega)$，其中 $(P)_n = (P_1, \ldots, P_n)$ 是一个相机族，$\Omega = {X_1, \ldots, X_m}$（$X_i \in \mathbb{RP}^3$）是场景中的一组点。

1.4 同源点族的解释

给定一个容差 $\varepsilon \in \mathbb{R}^+$，如果对于所有的 $i \in {1, \ldots, n}$，都存在 $\Omega$ 中的 $X_j$ 满足 $d(P_iX_j, x_i) < \varepsilon$，那么配置 $((P)_n, \Omega)$ 就是同源点族 $(x)_n = (x_1, \ldots, x_n)$ 的投影解释。

1.5 同源点矩阵的解释

同源点矩阵 $M$ 的投影解释是一个能够解释 $M$ 中所有行所代表的同源点族的配置。

这些定义为后续的多相机校准工作奠定了基础，清晰地界定了我们在处理多相机问题时所涉及的各种概念和元素。

2. 成对校准的局限性

在进行多相机校准时，我们不能直接将成对相机的校准过程扩展到多个相机。原因在于每对校准中存在尺度的不确定性，这在之前的研究中已有提及。

例如，当我们拥有一个视频 $(I) n$，并应用某种校准技术，使用成对帧 $(I_1, I_2)$，$(I_1, I_3)$，$\ldots$，$(I_1, I_n)$ 的同源点进行校准时，会得到一系列相机对 $(K[I|0], K[R_1|t_1])$，$(K[I|0], K[R_2|t_2])$，$\ldots$，$(K[I|0], K[R {n - 1}|t_{n - 1}])$。在这些相机对中，向量 $t_1$，$t_2$，$\ldots$，$t_{n - 1}$ 的方向和指向可以确定，但它们的模长 $|t_1|$，$|t_2|$，$\ldots$，$|t_{n - 1}|$ 无法确定。

虽然成对校准存在只能确定向量方向和指向的局限性，但多相机校准问题中固有的真实尺度不确定性相对较弱。尽管 $t_1$，$t_2$，$\ldots$，$t_{n - 1}$ 的值不能确定，但它们之间的比例关系 $\frac{|t_i|}{|t_j|}$ 是可以确定的。也就是说，我们可以得到一组形式为 $(K[I|0], K[R_1|\lambda t_1], K[R_2|\lambda t_2], \ldots, K[R_{n - 1}|\lambda t_{n - 1}])$ 的相机族，其中 $\lambda \in \mathbb{R}^+$ 是一个无法确定的因子。

以下是成对校准局限性的一个简单表格总结：
| 校准方式 | 可确定信息 | 不可确定信息 |
| ---- | ---- | ---- |
| 成对校准 | 向量 $t_1$，$t_2$，$\ldots$，$t_{n - 1}$ 的方向和指向 | 向量 $t_1$，$t_2$，$\ldots$，$t_{n - 1}$ 的模长 $|t_1|$，$|t_2|$，$\ldots$，$|t_{n - 1}|$ |
| 多相机校准 | 向量 $t_i$ 和 $t_j$ 之间的比例关系 $\frac{|t_i|}{|t_j|}$ | 因子 $\lambda$ |

3. 三步校准算法

为了解决多相机校准问题，我们可以采用一种三步校准算法，该算法可以为与视频 $(I)_n$ 相关联的同源点矩阵 $M$ 找到一个投影解释 $((P)_n, X_1, \ldots, X_m)$。

3.1 算法步骤

1. 步骤 1 ：使用矩阵 $M$ 中对应于一对帧 $I_i$ 和 $I_j$ 的同源点的列来确定 $P_i$ 和 $P_j$。这一步可以通过之前提到的某个定理（如定理 5.3）来解决。
2. 步骤 2 ：使用 $P_i$ 和 $P_j$ 以及矩阵 $M$ 来确定集合 ${X_1, \ldots, X_m}$。此步骤可以利用定理 3.2 来完成，具体在某些章节（如 5.8.2 节）有相关解释。
3. 步骤 3 ：使用集合 ${X_1, \ldots, X_m}$ 和矩阵 $M$ 来确定相机族 $(P)_n$。同样，这一步也可以依据定理 3.2 解决，在 4.1.2 节有详细说明。

3.2 算法优势

这种三步校准过程的一个优点是避免了使用基于三焦点张量的复杂数学模型，这对于入门级的研究来说是一个很有吸引力的特性。

以下是三步校准算法的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[步骤 1: 确定 $P_i$ 和 $P_j$];
    B --> C[步骤 2: 确定 $\{X_1, \ldots, X_m\}$];
    C --> D[步骤 3: 确定相机族 $(P)_n$];
    D --> E[结束];

4. 三步校准算法的问题

然而，简单实现三步校准算法会出现一些问题，导致校准结果不佳。

4.1 步骤 1 的问题

在执行步骤 1 时，可能会出现严重错误。因为基本矩阵是使用一组同源点来估计的，而这些同源点是由 KLT 算法自动确定的，该算法无法保证其准确性和正确性，所以可能存在严重错误。

4.2 步骤 2 的问题

步骤 2 执行过程中也可能出现严重错误。这是由于重建过程中的条件问题，可能会出现场景中某些重建点的情况，即某个方向上位置的较大扰动只会导致相机投影坐标的微小变化。

4.3 步骤 3 的问题

步骤 3 没有考虑到已知的相机内参特性这一限制条件。而这些参数在步骤 1 中从某个方程（如方程 5.4）获取本质矩阵时是被使用的。

4.4 小序列的局限性

三步校准算法的一个重要问题是它是为有限的帧序列校准而设计的。这意味着为了实现整个视频的全局优化，需要进行一些额外的处理。

为了使校准更加健壮，我们将使用 RANSAC 算法来解决前三个问题。而关于为整个视频找到良好校准的问题，将在后续的研究中进一步探讨。

以下是三步校准算法问题的总结表格：
| 步骤 | 问题描述 |
| ---- | ---- |
| 步骤 1 | 基本矩阵估计使用的同源点可能存在严重错误，因为由 KLT 算法自动确定，准确性和正确性无保证 |
| 步骤 2 | 重建过程存在条件问题，某些重建点位置的较大扰动可能只引起相机投影坐标的微小变化 |
| 步骤 3 | 未考虑已知的相机内参特性限制条件，而这些参数在步骤 1 中获取本质矩阵时被使用 |
| 整体 | 设计用于有限帧序列校准，需要额外处理以实现整个视频的全局优化 |

5. 利用 RANSAC 算法解决校准问题

为了使三步校准算法更加健壮，我们可以利用 RANSAC（随机抽样一致性）算法来解决步骤 1、步骤 2 和步骤 3 中出现的问题。

5.1 RANSAC 算法原理

RANSAC 是一种迭代算法，其基本思想是从数据集中随机选择一部分数据来拟合模型，然后计算其他数据点与该模型的拟合程度，通过多次迭代找到最优的模型参数。在多相机校准中，我们可以利用 RANSAC 算法来筛选出可靠的同源点，减少严重错误对校准结果的影响。

5.2 解决步骤 1 的问题

在步骤 1 中，由于 KLT 算法确定的同源点可能存在严重错误，我们可以使用 RANSAC 算法来估计基本矩阵。具体步骤如下：
1. 从同源点集合中随机选择一部分点（例如 8 个点）来计算基本矩阵。
2. 计算其他同源点到该基本矩阵所定义的极线的距离，将距离小于某个阈值的点视为内点。
3. 重复步骤 1 和步骤 2 多次，选择内点数量最多的基本矩阵作为最终结果。

5.3 解决步骤 2 的问题

在步骤 2 的重建过程中，RANSAC 算法可以帮助我们筛选出可靠的重建点。具体操作如下：
1. 随机选择一部分重建点来拟合场景模型。
2. 计算其他重建点与该模型的误差，将误差小于某个阈值的点视为内点。
3. 多次迭代，选择内点数量最多的模型作为最终的场景重建结果。

5.4 解决步骤 3 的问题

对于步骤 3 未考虑相机内参特性的问题，我们可以在 RANSAC 算法的基础上，将相机内参作为约束条件加入到模型拟合过程中。具体来说，在每次迭代计算相机族参数时，确保这些参数满足已知的相机内参特性。

以下是使用 RANSAC 算法解决校准问题的步骤列表：
1. 初始化 RANSAC 迭代次数和内点阈值。
2. 对于步骤 1：
- 随机选择部分同源点计算基本矩阵。
- 计算内点数量。
- 重复上述步骤直到达到最大迭代次数，选择内点最多的基本矩阵。
3. 对于步骤 2：
- 随机选择部分重建点拟合场景模型。
- 计算内点数量。
- 多次迭代，选择内点最多的模型。
4. 对于步骤 3：
- 在模型拟合过程中加入相机内参约束条件。
- 进行 RANSAC 迭代，选择最优的相机族参数。

6. 实现整个视频的全局优化

三步校准算法设计用于有限的帧序列校准，为了实现整个视频的全局优化，我们需要进行一些额外的处理。

6.1 问题分析

由于三步校准算法在处理有限帧序列时存在局限性，当应用于整个视频时，可能会出现局部最优解的问题，导致校准结果在全局范围内不够理想。因此，我们需要一种方法来整合各个局部校准结果，实现全局优化。

6.2 解决方案

一种可行的方法是采用滑动窗口技术，将整个视频划分为多个重叠的窗口，在每个窗口内进行三步校准，然后通过优化算法（如束调整）来整合这些局部校准结果。具体步骤如下：
1. 窗口划分 ：将整个视频划分为多个重叠的窗口，每个窗口包含一定数量的帧。
2. 局部校准 ：在每个窗口内应用三步校准算法，得到局部的相机参数和场景重建结果。
3. 全局优化 ：使用束调整算法，将所有局部校准结果作为初始值，通过最小化重投影误差来优化整个视频的相机参数和场景点的位置。

以下是实现整个视频全局优化的流程图：

graph TD;
    A[开始] --> B[窗口划分];
    B --> C[局部校准];
    C --> D[全局优化];
    D --> E[结束];

7. 总结与展望

7.1 总结

本文介绍了多相机估计与校准的相关知识，包括基本定义、成对校准的局限性、三步校准算法及其存在的问题，以及如何利用 RANSAC 算法解决校准问题和实现整个视频的全局优化。通过这些方法，我们可以提高多相机校准的准确性和健壮性，为后续的计算机视觉应用（如三维重建、目标跟踪等）提供更可靠的基础。

7.2 展望

虽然我们已经提出了一些解决多相机校准问题的方法，但仍然存在一些挑战和改进的空间。例如，如何进一步提高 RANSAC 算法的效率和准确性，如何处理更复杂的场景和相机配置等。未来的研究可以朝着这些方向展开，不断完善多相机校准技术，推动计算机视觉领域的发展。

以下是多相机校准相关内容的总结表格：
| 内容 | 描述 |
| ---- | ---- |
| 基本定义 | 包括同源点族、同源点矩阵、配置等定义，为校准奠定基础 |
| 成对校准 | 存在尺度不确定性，只能确定向量方向和指向，可确定向量模长比例关系 |
| 三步校准算法 | 分为三个步骤确定相机族和场景点，避免复杂数学模型 |
| 算法问题 | 步骤 1、2、3 存在严重错误和未考虑内参等问题，适用于有限帧序列 |
| RANSAC 算法 | 解决步骤 1、2、3 的问题，提高校准健壮性 |
| 全局优化 | 采用滑动窗口和束调整算法，实现整个视频的全局优化 |