【MR】现代机器人学-时间最优时间缩放

MR章节目录

第2章 配置空间 第3章 刚体运动 第4章 正向运动学 第5章 速度运动学与静力学 第6章 逆向运动学 第7章 闭链运动学 第8章 开链动力学 第9章 轨迹生成 9.1 定义 9.2 点到点轨迹 9.3 多项式通过点轨迹 9.4 时间最优时间缩放

第10章 运动规划 第11章 机器人控制 第12章 抓取与操作 第13章 轮式移动机器人

Modern Robotics, Chapter 9.4: Time-Optimal Time Scaling (Part 1 of 3)

在接下来的几个视频中，我们考虑以下
问题：
给定所需的路径 theta-of-s，
考虑机器人的动力学和
机器人关节处的扭矩限制，找到沿该路径的最佳时间缩放。
最短时间运动可用于最大限度地提高
机器人的生产率。
您可以想象尝试优化其他
标准，例如
执行器消耗的能量，但在接下来的几个视频中，
我们将重点关注时间最佳轨迹。

回想一下，机器人的动力学可以
写成 M 乘以 θ 双点加上
速度乘积项加上重力项，
等于关节力和扭矩矢量 tau。
在这里，我使用 Christoffel 符号矩阵 Gamma 编写了速度乘积项，
以强调它在关节速度矢量中是二次的
。
请记住，我们只
对机器人位于
路径 theta-of-s 上时的动力学感兴趣，我们可以将 theta-dot
和 theta-double-dot 重写为
路径相对于以下导数的函数 s
以及 s 对时间的导数。
将这些表达式代入动力学中，
我们得到此处所示的表达式。
由于路径是预先给定的，
theta 对 s 的导数也是预先已知的
，只有 s、s-dot 和 s-double-dot
是变量。
因此，我们可以将这个方程写为
向量方程 m-of-s 乘以 s-double-dot
加上 c-of-s 乘以 s-dot-squared 加上 g-of-s
等于 tau。
m-of-s、c-of-s 和 g-of-s 中的每一个都是
s 的向量函数，其中 c-of-s 乘以 s-dot-squared
是速度积项，g-of-  s 是
引力项，m-of-s 起到质量的作用
。然而，
m 向量的某些元素可能为负
。
该方程是机器人
被限制沿路径
theta-of-s 移动时的动力学方程。
该方程没有说明
机器人偏离路径时的动力学。

现在我们已经用
单路径参数 s（而
不是关节矢量 theta）来表达动力学，我们必须考虑
机器人执行器可以产生的力或扭矩的限制。
第 i 个关节处的限制可以写
为 tau_i 大于 tau_i-min 且
小于 tau_i-max。
例如，tau_i-min 可以是负五
牛顿米，tau_i-max 可以是正五
牛顿米。
但一般来说，极限是
theta 和 theta-dot 的函数。
特别是，电动机可以产生的最大扭矩
通常
随着速度的增加而减小，直到
最终变为零。
请记住，
当机器人受限于路径时，我们可以用 s 和 s-dot 来表达 theta 和 theta-dot，
我们可以将
执行器限制重写为 s 和
s-dot 的函数。
如果我们将路径受限动力学的第 i 个分量替换
为 tau_i，我们
就会得到这些约束。
因此，
当机器人处于
（s，s-dot）状态时，第 i 个致动器对沿路径可能的加速度 s-double-dot进行了限制

为了确定第 i 个执行器对
s-double-dot 的限制，我们从所有三个表达式中减去 c_i 乘以 s-dot-squared
和 g_i，然后
除以 m_i。
由于 m_i 可以为正或负，因此
有两种可能的情况：如果 m_i 为正，
则 s-double-dot 的下限 L_i
和 s-double-dot 的上限 U_i
由以下等式给出 。
如果 m_i 为负，则 L_i 和 U_i
由这些方程给出。
这些方程告诉我们
沿着
关节 i 在状态 (s, s-dot) 下允许的路径的最大和最小加速度 s-double-dot。

如果我们计算所有关节的 L_i 和 U_iÿ