cwplh的博客

2-SAT问题是一种特殊的布尔可满足性问题，研究在n个布尔变量和m个形如(a∨b)的约束条件下是否存在可行解。该问题通过图论方法解决：将每个变量及其否定形式视为节点，根据约束条件建立有向边。若变量x与其否定¬x位于同一强连通分量中，则问题无解；否则可通过比较强连通分量的拓扑序来构造解，选择拓扑序较大的命题为真。文章详细介绍了建图方法、无解判断条件以及解的构造过程，并提供了相关证明和代码实现。

本文介绍了两种重要的图论算法：拓扑排序和强连通分量(SCC)。拓扑排序是将有向无环图(DAG)节点线性排序的算法，通过不断移除入度为0的节点实现。强连通分量则是图中极大强连通子图，Tarjan算法通过深度优先搜索和dfn/low数组标记来识别SCC。文章还介绍了缩点技术，即将SCC合并为单个节点构建新图，便于后续处理。这两种算法在解决图论问题时非常有用，尤其适合处理依赖关系、环路检测等场景。

上面的过程中省略了一些步骤，还用了一些数学符号，但我相信应该能看懂，看不懂的可以抠破脑袋想。当然这就有个问题：这费马小定理有什么用呢？互质的数所构成的集合叫做最简剩余系。这也很好理解，相信大家都能想通，就不多讲了。的最简剩余系的长度，假设一个数。然后我们把左右两边同时除以一个。为质数时，我们就可以得到。互质，则我们可以得到。

本文介绍了图论中的两种连通分量算法。点双连通分量（v-dcc）定义为不含割点的极大连通子图，通过Tarjan算法识别割点（满足dfn[u]<=low[i]的非根节点或多子树的根节点），并用栈保存节点来划分点双。边双连通分量（e-dcc）则是极大不含桥的连通子图，其判定条件为dfn[x]<low[y]，算法同样基于Tarjan，通过比较dfn和low值识别桥并划分边双。两种算法均采用深度优先搜索和栈结构实现分量划分，核心代码展示了具体的实现逻辑。

很简单，我们只需要用一个 dfs，然后从根节点开始往下搜，然后搜它的子树的大小，再把自身的大小加上它子树的大小表示这棵树总的大小，然后取子树大小中的最大值，最后更新答案。（这里以及下文中的「子树」若无特殊说明都是指无根树的子树，即包括「向上」的那棵子树，并且不包括整棵树自身。我们这样思考：假设我现在把根转移给了我的子节点，那么被我转移了的那个子节点的总深度就少了。为根节点往下的总的点数），而其他的子树的总深度就加上了。现在应该就明白了重心的定义了吧。为根的子树大小（即子树上结点的个数，包括根结点）。

现在，国土安全局局长希望知道，至少需要多少名边防战士，才能使得他们的奔袭区间覆盖全部的边境线，从而顺利地完成国旗计划。不仅如此，安全局局长还希望知道更详细的信息：对于每一名边防战士，在他必须参加国旗计划的前提下，至少需要多少名边防战士才能覆盖全部边境线，从而顺利地完成国旗计划。我们上面说了，如果相等就不执行操作，也就是不跳，所以我们肯定不会到他们的 LCA，而是会很接近，而最接近的地方就是它的子节点了，所以最后再往上跳一个就行了。最后经过很多次循环后，我们成功找到了他们的 LCA，的子节点，为啥呢？

主要知识点：并查集、 Dijkstra 、查分约束、同余最短路。