32、《计算机视觉与机器学习中的关键技术解析》

《计算机视觉与机器学习中的关键技术解析》

1. 多元正态分布的Kullback - Leibler散度

在处理多元正态分布时，Kullback - Leibler（KL）散度是一个重要的概念，它用于衡量两个概率分布之间的差异。假设我们有两个多元正态分布 $p(X)$ 和 $q(X)$，其表达式如下：
- (p ( x=x)=\prod_{i=1}^{k}\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma_{i}^{2}}}e^{-\frac{1}{2}(\frac{x_{i}-\mu_{i}}{\sigma_{i}})^2}=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}|\Sigma|^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}(x - \mu)^T\Sigma^{-1}(x - \mu)})
- (q(X=x)=\frac{1}{(2\pi)^{k/2}|I|^{1/2}}e^{-\frac{1}{2}x^TI^{-1}x})

其中，(X = [x_1, x_2, …, x_k]^T)，(\mu = [\mu_1, \mu_2, …, \mu_k]^T)，(\Sigma) 是协方差矩阵，(I) 是单位矩阵。

KL散度的计算公式为：
(D_{KL}(p(X)||q(X)) = \iiint p(x)[\ln p(x) - \ln q(x)]dx)

经过一系列的推导（推导过程较为复杂，涉及到积分和矩阵运算），最终可以得到：
(D_{KL}(p(X)||q(X)) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^{k}[\mu_{i}^{2} + \sigma_{i}^{2} - \ln(\sigma_{i}^{2}) - 1