61、图论中的计算复杂度问题研究

图论中的计算复杂度问题研究

1. 切换到无刺猬图问题

判断是否能切换到无刺猬图的问题属于NP问题。可以在多项式时间内检查包含集合A的证书，只需测试S(G, A)中每个具有2k + 3个顶点的诱导子图是否为刺猬图。

在已解决的切换等价于无H图的问题中，对于一些特定的图H，有不同的计算复杂度结果：
| 图H | 计算复杂度 |
| ---- | ---- |
| K2 | 多项式时间算法 |
| K3 | 多项式时间算法 |
| K1,2 | 多项式时间算法 |
| P4 | 多项式时间算法 |
| K1,3 | 多项式时间算法 |
| 刺猬图 | NP难 |

然而，对于图H的完整特征描述仍未完成，存在以下未解决的问题：
- 问题1 ：对于哪些图H，判断切换等价于无H图的问题是多项式时间可解的？对于哪些图H，该问题是NP完全的？是否存在既不是多项式时间可解也不是NP完全的图H？
- 问题2 ：对于任何固定的k ≥ 4，切换等价于无Kk图的计算复杂度是多少？

2. 局部单射同态到简单权重图问题

2.1 基本概念

• 权重图 ：是一个连通（多重）图，有两个度数至少为3的顶点u和v，其他顶点度数为2。并且，移除u或v中的任何一个，剩余图包含一个环。如果u和v的度数为3，则称为简单权重图。简单权重图H表示为W(a, b, c)，其中a和b是环的长度，c是连接u和v的路径长度。若a、b和c的最大公约数为1，则称W(a, b