8、传递函数、框图与系统动态特性分析

传递函数、框图与系统动态特性分析

1. 传递函数数值计算中的潜在问题

在使用控制系统工程软件进行传递函数的数值计算时，有时得到的结果与符号运算所期望的理论结果并不完全匹配。可能出现以下情况：
- 得到的结果阶数高于预期。
- 本应系数为零的项却有小的非零值。
- 分子和分母中预期能消去的因子未能消去。
- 根的值与预期有所不同。

许多计算问题与处理多项式的数值方法挑战有关。传递函数多项式的系数通常取值范围较大，组合传递函数模型时可能导致病态计算。

1.1 解决方法

当在控制系统工程软件中使用传递函数进行数值计算遇到问题时，可以采用以下一种或多种方法来减少问题：
1. 在组合传递函数模型之前，将其转换为状态空间模型。
2. 避免对传递函数进行数值加减运算。
3. 确保已知的公共分母多项式在数值上保持相同，例如仅对分子多项式进行数值加减。
4. 在数值计算早期消去公共因子。
5. 先获得理论的符号解，再在后续步骤中代入数值。

1.2 示例：传递函数相加的数值误差

假设有一个生产网络，包含五个相同的并行工作系统。生产网络输入速率的 20% 分配到每个工作系统。工作系统的输出速率不能立即改变，时间常数 τ 天大致描述了生产工作系统输入速率和输出速率之间的一阶滞后离散时间关系：
[r_{o}(kT) = e^{-\frac{T}{\tau}}r_{o}((k - 1)T) + (1 - e^{-\frac{T}{\tau}})r_{i}((k - 1)T)]
传递函数为：
[G(z) = \frac{R_