5、离散系统分析：Z变换、传递函数与框图应用

离散系统分析：Z变换、传递函数与框图应用

1. Z变换基础

Z变换是处理离散时间序列的重要工具。考虑一个序列 $f(kT)$，其中 $k = 0, 1, 2, 3, \ldots, \infty$，$T$ 为恒定周期。这个序列可以是本质离散的，比如生产系统中周期性做出的决策序列；也可以是通过对连续时间函数 $f(t)$ 采样得到，如图 3.7 所示的理想采样器，能在每个时刻 $kT$ 无延迟地获取值 $f(kT)$。

Z变换的定义为：
[Z{f(kT)} = \sum_{k = 0}^{\infty} f(kT)z^{-k}]
其中 $z$ 是一个新的复变量，与拉普拉斯变量 $s$ 相关，可表示为 $z = e^{Ts}$，且 $z = \alpha + j\beta$，$\alpha$ 为实部，$\beta$ 为虚部。

以下是一些常见序列的Z变换结果：
| 函数 | $f(kT)$（$k < 0$ 时为 0） | $Z{f(kT)}$ |
| — | — | — |
| 单位阶跃 | 1 | $\frac{1}{1 - z^{-1}}$ |
| 指数序列 | $e^{-\frac{kT}{\tau}}$ | $\frac{1}{1 - e^{-\frac{T}{\tau}}z^{-1}}$ |
| 正弦序列 | $\sin(\omega kT)$ | $\frac{\sin(\omega T)z^{-1}}{1 - 2\cos(\omega T)z^{-1} + z^{-2}}$ |
| 余弦序列 | $\cos(\omega kT)$ | $\frac{1 - \cos(\omega T)z