4、生产系统的传递函数与框图：从基础到应用

生产系统的传递函数与框图：从基础到应用

1. 生产系统建模概述

生产系统通常包含多个组件，对这些组件进行动态建模往往需要借助物理分析或实验数据分别获取其模型。之后，若有需要，可将这些组件模型组合起来，以得到整个生产系统动态行为的模型。然而，组合这些模型并非易事，因为可能存在连续时间和离散时间模型的混合，生产系统的结构复杂且会体现在方程中，而且单个组件的低阶微分或差分方程虽能较好描述其动态行为，但组合后的模型阶数可能显著提高。

幸运的是，拉普拉斯变换和Z变换可以分别将微分方程和差分方程转换为代数形式，便于操作，还能支持控制系统工程软件中的数学分析和设计工具。

2. 拉普拉斯变换

2.1 定义

连续时间函数 $f(t)$ 的单边拉普拉斯变换定义为：
[
\mathcal{L}{f(t)}=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}dt
]
其中，$s$ 是一个新的复变量，$s = \alpha + j\beta$，$\alpha$ 为实部，$\beta$ 为虚部。在计算积分时，包含了 $t = 0$ 处的不连续性，因此使用了 $0^-$ 的符号。

2.2 常见函数的拉普拉斯变换

以下是一些常见连续时间函数的拉普拉斯变换：
| 函数 | $f(t) (t < 0 时 f(t) = 0)$ | $\mathcal{L}{f(t)}$ |
| ---- | ---- | ---- |
| 单位阶跃函数 | $1$ | $\frac{1}{s}$ |
| 指数函数 | $e^{-\frac{t}{\ta