欧拉定理(详细介绍加证明与例题)

本文详细介绍了欧拉定理及其证明,并给出了与欧拉定理相关的例题。欧拉定理指出,对于正整数m和a,若a与m互质,则a^φ(m) ≡ 1 (mod m),其中φ(m)是小于m并与m互质的正整数个数。文章首先阐述了质数、公约数、互质、同余和完全剩余系等基础概念,接着定义并探讨了欧拉函数φ(m)的通项公式,最后通过例题展示了欧拉定理在解决问题中的应用。

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0.前言

在数论中,欧拉定理(Euler Theorem,也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理)是一个关于同余的性质。而欧拉定理的内容为表示为:

Alt
而本文将会证明欧拉定理。

1.基本概念

在证明欧拉定理之前需要先了解几个知识点

1.1 质数

质数又称素数。一个大于1的自然数,除了1和它自身外,不能被其他自然数整除的数叫做质数;否则称为合数(规定1既不是质数也不是合数)。在数学界,关于质数的研究非常多,最著名便是哥德巴赫猜想

1.2 公约数

公约数,亦称“公因数”。它是指能同时整除几个整数的数 。如果一个整数同时是几个整数的约数,称这个整数为它们的“公约数”;公约数中最大的称为最大公约数。对任意的若干个正整数,1总是它们的公因数。
最大公约数可记为gcd()或()。

1.3 互质

互质是公约数只有1的两个整数,叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数,叫做互质自然数,后者是前者的特殊情形。例如,3与5的公约数只有1,所以它们是互质的。可以记为gcd(3,5)=1.

1.4 同余

同余是数论中的重要概念。给定一个正整数m,如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除,即(a-b)/m得到一个整数,那么就称整数a与b对模m同余,记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

1.5 完全剩余系

命 m 为一个自然数,a,b为整数。如果 为 n 的整数倍,则称 a,b 关于 n 同余,用同余式 a ≡ b(mod m) 记之。否则称a,b关于 n 不同余,记为 a ≢ b(mod m)。我们称 n 为同余式的模(modulus)。同余式满足:
反射性(reflection),即 a ≡ a(mod m);
对称性(symmetry),即由 a ≡ b(mod m)可得 b ≡ a(mod m);
传递性(transitivity),即由 a ≡ b(mod m),b ≡ c (mod m)可得 a ≡ c(mod m)。

因此,可以利用同余关系将整数分类,凡同余的数属于一个类,于是异类中的数皆不同余。共得到整数的 n 个类。在每一个类中各取一个数作为代表所成的集合称为模 n 的一个完全剩余系。

2. 欧拉函数

2.1 定义

欧拉函数是指在数论中,对正整数m,欧拉函数是小于m的正整数中与m互质的数的数目.记为φ(m)。也就是在一组数m的完全剩余系S中,与m互质的数构成的子集,而φ(m)就指这个子集中元素的个数。例如,n=12,S=1,5,7,11,这个集合共有4个元素,那么φ(m)=4.

2.2 通项公式

通项公式为: φ(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/pm)* 其中p为n的质因子

证明(涉及唯一分解定理):
因为是求与n互质的数的个数,也就是把不与n互质的数给筛掉,那就可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)。但是,在筛的过程中,有的数可能是多个数的倍数,所以会被多减,而多减的数也就要就回去。例如:一个数既是p1的倍数,又是p2的倍数,这个数就会被多减。根据这个就可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)+[m/(p1p2)]+[m/(p1p3)]+…+[m/(pm*pk)]。但在加回来之后,可有的数又是3个数的倍数,在刚开始被减了,但在后面又加了回来,所以需要再减一次,可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)+[m/(p1p2)]+[m/(p1p3)]+…+[m/(pmpk)]-[m/(p1p2p3)]-[m/(p2p3p4)]-[m/(p3p4p5)]-…-[m/(pmpk*pq)],再整理一下可得:φ(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)(1-1/pm)*。

代码:

int getphi(int m) {
   
    int ans = m;
    for (int i = 2; i * i <= m; i++) {
   
        <
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