欧拉定理（详细介绍加证明与例题）

0.前言

在数论中，欧拉定理（Euler Theorem，也称费马-欧拉定理或欧拉函数定理）是一个关于同余的性质。而欧拉定理的内容为表示为：

而本文将会证明欧拉定理。

1.基本概念

在证明欧拉定理之前需要先了解几个知识点

1.1 质数

质数又称素数。一个大于1的自然数，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做质数；否则称为合数（规定1既不是质数也不是合数）。在数学界，关于质数的研究非常多,最著名便是哥德巴赫猜想

1.2 公约数

公约数，亦称“公因数”。它是指能同时整除几个整数的数 。如果一个整数同时是几个整数的约数，称这个整数为它们的“公约数”；公约数中最大的称为最大公约数。对任意的若干个正整数，1总是它们的公因数。
最大公约数可记为gcd（）或（）。

1.3 互质

互质是公约数只有1的两个整数，叫做互质整数。公约数只有1的两个自然数，叫做互质自然数，后者是前者的特殊情形。例如，3与5的公约数只有1，所以它们是互质的。可以记为gcd（3,5）=1.

1.4 同余

同余是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能够被m整除，即(a-b)/m得到一个整数，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(mod m)。对模m同余是整数的一个等价关系。

1.5 完全剩余系

命 m 为一个自然数，a，b为整数。如果 为 n 的整数倍，则称 a，b 关于 n 同余，用同余式 a ≡ b(mod m) 记之。否则称a，b关于 n 不同余，记为 a ≢ b（mod m）。我们称 n 为同余式的模（modulus）。同余式满足：
反射性（reflection），即 a ≡ a（mod m）；
对称性（symmetry），即由 a ≡ b（mod m）可得 b ≡ a（mod m）；
传递性（transitivity），即由 a ≡ b（mod m），b ≡ c （mod m）可得 a ≡ c（mod m）。

因此，可以利用同余关系将整数分类，凡同余的数属于一个类，于是异类中的数皆不同余。共得到整数的 n 个类。在每一个类中各取一个数作为代表所成的集合称为模 n 的一个完全剩余系。

2. 欧拉函数

2.1 定义

欧拉函数是指在数论中，对正整数m，欧拉函数是小于m的正整数中与m互质的数的数目.记为φ(m)。也就是在一组数m的完全剩余系S中，与m互质的数构成的子集，而φ(m)就指这个子集中元素的个数。例如，n=12，S=1,5,7,11，这个集合共有4个元素，那么φ(m)=4.

2.2 通项公式

通项公式为: φ(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pm)* 其中p为n的质因子

证明(涉及唯一分解定理)：
因为是求与n互质的数的个数，也就是把不与n互质的数给筛掉，那就可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)。但是，在筛的过程中，有的数可能是多个数的倍数，所以会被多减，而多减的数也就要就回去。例如：一个数既是p1的倍数，又是p2的倍数，这个数就会被多减。根据这个就可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)+[m/(p1p2)]+[m/(p1p3)]+…+[m/(pm*pk)]。但在加回来之后，可有的数又是3个数的倍数，在刚开始被减了，但在后面又加了回来，所以需要再减一次，可得:m-(m/p1)-(m/p2)-(m/p3)-…-(m/pm)+[m/(p1p2)]+[m/(p1p3)]+…+[m/(pmpk)]-[m/(p1p2p3)]-[m/(p2p3p4)]-[m/(p3p4p5)]-…-[m/(pmpk*pq)]，再整理一下可得:φ(m)=m(1-1/p1)(1-1/p2)(1-1/p3)…(1-1/pm)*。

代码:

int getphi(int m) {
    int ans = m;
    for (int i = 2; i * i <= m; i++) {
        if (m % i == 0) {
            ans = ans / i * (i - 1);
            while (m % i == 0) m /= i;
        }
    }
    if (m > 1)
        ans = ans / m * (m - 1);
    return ans;
}

3. 欧拉定理

3.1 定义

在本文刚开始，便已经提及了欧拉定理，那就是:a^φ(m) ≡ 1 (mod m)。

3.2 证明

我们可以构造一个与m互质的数列，再来进行证明。
设t1,t2,…,tφ(m)为模m意义下的一个简化剩余系，那么at1,at2,…,atφ(m)也是模m意义下的一个简化剩余系。所以t1,t2,…,tφ(m)≡at1,at2,…,atφ(m)≡a^φ(m)t1t2…tφ(m) (mod m)，这里可以约掉t1t2…tφ(m)，所以a ^ φ(m) ≡ 1 (mod m)。

4.例题

在说了那么多以后，我们来看一下例题：

题目描述
在我国传统文化中，常把数字8认为是幸运的。小明有一个自己幸运数字 ，他想把两者结合起来，构造一个仅由8组成的数字（8,88,888,…），且这个数字是L的倍数。可惜小明解决不了这个复杂的任务，他想麻烦你告诉他这样的数字是否存在？如果存在，这个数字最少是几位数？

输入格式
多组数据，每行一个正整数L(1<=L<=2e9).
最后一行输入0表示结束

输出格式
如果存在满足条件的幸运数字，输出其最小位数；如果不存在输出0。

样例
样例输入

8
11
16
0

样例输出

Case 1: 1
Case 2: 2
Case 3: 0

样例解释
第一个数据，8是8的倍数😋，因此最小长度为1；
第二个数据，8不是11的倍数😫，88是11的倍数😆，因此最小长度为2；
第三个数据，不存在满足要求的幸运数字😭，输出0.

数据范围与提示
对30%的数据，保证每组数据都存在满足条件的最小长度，且所有答案之和不超过10^8；
对50%的数据，保证答案之和不超过10^8；
对70%的数据，L<=10^8；
对100%的数据，L<=2e9.

这道题如果想要得到满分，光看样例的话，暴力是肯定不行的，而正解的话便是用到欧拉定理。而且光是long long的话也是不行的，也是会爆的，所以要用__int128。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;

ll k, m, phi, ans, n;

ll gcd(ll a,ll b) {    
	return b > 0 ? gcd(b, a%b) : a;
}

ll getphi(ll n) {
	ll ans = n;
	for (ll i = 2; i * i <= n; i++){
		if (n % i == 0) {
			ans = ans / i * (i - 1);
			while (n % i == 0) n /= i;
		}
	}
	if (n > 1) 
		ans = ans / n * (n - 1);
	return ans;
}

ll qkpow(__int128 a, __int128 b) {
	ll sum = 1;
	while (b) {
		if (b & 1)
			sum = (sum * a) % m;
		a = (a * a) % m;
		b >>= 1;
	}
	return sum % m;
}

ll fun(ll phi, ll m) {
	ll ans=0;
	for (ll i = 1; i * i <= phi; i++) {
		if (phi % i == 0) {
			if (qkpow(10, i) % m == 1) {
				return i;
			}
			if (qkpow(10, phi / i) == 1) 
				ans = phi / i;
		}
	}
	return ans;
}

int main() {
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0),cout.tie(0);
	while (cin >> n && n!=0) {
		m = 9 * n / (gcd(8, n));
		if (gcd(10, m) != 1) {
			cout << "Case " << ++k << ": 0" <<endl; 
			continue;
		}
		phi = getphi(m);
		ans = fun(phi, m);
		cout << "Case " << ++k <<  ": " << ans << endl;
	}
}