数论四大定理之欧拉定理

本文整理了欧拉定理的内容，分为两个部分，第一部分介绍欧拉定理的证明，第二部分介绍欧拉函数的求法。

欧拉函数

欧拉函数$\phi (n)(n\in N^{\ast })$是小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互质的数的个数。

欧拉定理

对于任意互素的 $a$ 和 $n$，有 $a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

一、欧拉定理的证明

记小于 $n$ 且与 $n$ 互质的正整数集合为R={x1,x2,⋯ ,xφ(n)}R=\{x_1,x_2,\cdots,x_{\varphi(n)}\}R={x1​,x2​,⋯,xφ(n)​}令S={ax1%n,ax2%n,⋯ ,axφ(n)%n}S=\{ax_1\%n,ax_2\%n,\cdots,ax_{\varphi(n)}\%n\}S={ax1​%n,ax2​%n,⋯,axφ(n)​%n}$\forall i\in [1,\phi (n)]$
$\because (a,n)=1,(x_i,n)=1$
$\therefore (a{x}_i,n)=1$
由最大公约数的性质可得$(a{x}_i\%n,n)=1$
所以 $S$ 中所有元素都与 $n$ 互质，且都小于 $n$。
又 $S$ 中无重复元素
假设$i\ne j,a{x}_i\%n=a{x}_j\%n$
即$a{x}_i\equiv a{x}_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$，又$(a,n)=1$
$\therefore x_i\equiv x_j(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n),i=j$，矛盾！
$\therefore S=R$
$\therefore {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}a{x}_i\%n={\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{x}_i$
$\therefore {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}a{x}_i\equiv {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{x}_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)⟹a^{\phi (n)}{\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{x}_i\equiv {\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{x}_i(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$
又$({\prod }_{i=1}^{\phi (n)}{x}_i,n)=1$
故$a^{\phi (n)}\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}n)$

二、欧拉函数的求法

1. $\phi (1)=1$
2. 如果 $n$ 是质数，则$\phi (n)=n-1$ 。
   因为质数与小于它的每一个正整数都互质。
3. 如果$n=p^k$($p$为质数，$k\in N^{\ast }$)，则$\phi (p^k)=p^k-p^{k-1}$，这是因为只要当一个数不包含因子 $p$ 时，就能与$p^k$互质。而小于等于 $n$ 包含质数 $p$ 的数一共有$p^{k-1}$个，即$1\times p,2\times p,\cdots ,p^{k-1}\times p$，把它们去除，剩下的就是与$p^k$互质的数。
   上式也可以写作：$$\phi (p^k)=p^k(1-\frac{1}{p})$$
4. 如果$n=p\cdot q$，而且$p,q$互质，有$\phi (n)=\phi (p\cdot q)=\phi (p)\cdot \phi (q)$（欧拉函数是积性函数）
   这一条的证明要用到"中国剩余定理"，这里就不展开了，只简单说一下思路：如果
   $a(a<p)$ 与 $p$ 互质，$b(b<q)$ 与 $q$ 互质，$c(c<pq)$ 与 $pq$ 互质，则 $c$ 与数对 $(a,b)$ 是一一对应关系。由于 $a$ 的值有$\phi (p)$种可能，$b$ 的值有$\phi (q)$种可能，则数对 $(a,b)$ 有$\phi (p)\cdot \phi (q)$种可能，而 $c$ 的值有$\phi (p\cdot q)$种可能，所以$\phi (p\cdot q)=\phi (p)\cdot \phi (q)$
5. 通式，因为任意一个大于1的正整数，都可以写成一系列质数的积。
   $n=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}$($p_1,\cdots ,p_r$都为质数)
   由4可得$$\phi (n)=\phi (p_1^{k_1})\phi (p_2^{k_2})\cdots \phi (p_r^{k_r})$$再由3可得$$\phi (n)=p_1^{k_1}\cdot p_2^{k_2}\cdots p_r^{k_r}(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})\cdots (1-\frac{1}{p_r})$$即$\phi (n)=n{\sum }_{i=1}^r(1-\frac{1}{p_i})$