数论的欧拉定理证明 & 欧拉函数公式

欧拉函数 ：
欧拉函数是数论中很重要的一个函数，欧拉函数是指：对于一个正整数 n ，小于 n 且和 n 互质的正整数（包括 1）的个数，记作 φ(n) 。

完全余数集合：
定义小于 n 且和 n 互质的数构成的集合为 Zn ，称呼这个集合为 n 的完全余数集合。 显然 |Zn| ＝φ(n) 。

有关性质：
对于素数 p ，φ(p) = p -1 。
对于两个不同素数 p， q ，它们的乘积 n = p * q 满足 φ(n) = (p -1) * (q -1)  。
这是因为 Zn = {1, 2, 3,  ... , n - 1} - {p, 2p, ... , (q - 1) * p} - {q, 2q, ... , (p - 1) * q} ， 则 φ(n) = (n - 1) - (q - 1) - (p - 1) = (p -1) * (q -1)  ＝φ(p) * φ(q) 。

欧拉定理 ：
对于互质的正整数 a 和 n ，有 a^φ(n)  ≡ 1 mod n  。

证明：
( 1 ) 令 Zn = {x₁, x₂, ..., x_φ(n)} ， S = {a * x₁ mod n, a * x₂ mod n, ... , a * x_φ(n) mod n} ，
        则 Zn = S 。
        ① 因为 a 与 n 互质， x_i (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所以 a * x_i  与 n 互质，所以 a * x_i  mod n ∈ Zn 。
        ② 若 i ≠ j ， 那么 x_i ≠ x_j，且由 a, n互质可得 a * x_i mod n ≠ a * x_j mod n （消去律）。

( 2 )     a^φ(n) * x₁ * x₂ *... * x_φ(n) mod n
      ≡ (a * x₁) * (a * x₂) * ... * (a * x_φ(n)) mod n
      ≡ (a * x₁ mod n) * (a * x₂ mod n) * ... * (a * x_φ(n) mod n) mod n
      ≡  x₁ * x₂ * ... * x_φ(n) mod n
      对比等式的左右两端，因为 x_i  (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质，所以 a^φ(n)  ≡  1 mod n （消去律）。
注：
消去律：如果 gcd(c,p) = 1 ，则 ac ≡ bc mod p ⇒ a ≡ b mod p 。

费马定理 ：
若正整数 a 与素数 p 互质，则有 a^{p - 1} ≡ 1 mod p 。
证明这个定理非常简单，由于 φ(p) = p -1，代入欧拉定理即可证明。

参考来源：
http://zhidao.baidu.com/question/15882452.html?si=2

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补充：欧拉函数公式

( 1 ) p^k 的欧拉函数

对于给定的一个素数 p ， φ(p) = p -1。则对于正整数 n = p^k ，

 φ(n) = pk - pk -1
  
证明：
 小于 pk 的正整数个数为 pk - 1个，其中
 和 pk 不互质的正整数有{p * 1,p * 2,...,p * (pk - 1-1)} 共计 pk - 1 - 1 个
 所以 φ(n) = pk - 1 - (pk - 1 - 1) = pk - pk - 1 。

( 2 ) p * q 的欧拉函数

假设 p, q是两个互质的正整数，则 p * q 的欧拉函数为

φ(p * q) = φ(p) * φ(q) ， gcd(p, q) = 1 。

证明：
 令 n = p * q ， gcd(p,q) = 1
 根据中国余数定理，有
 Zn 和 Zp × Zq 之间存在一一映射
（我的想法是： a ∈ Zp ， b ∈ Zq ⇔ b * p + a * q ∈ Zn 。）
 所以 n 的完全余数集合的元素个数等于集合 Zp × Zq 的元素个数。
 而后者的元素个数为 φ(p) * φ(q) ，所以有
 φ(p * q) = φ(p) * φ(q) 。

( 3 ) 任意正整数的欧拉函数

任意一个整数 n 都可以表示为其素因子的乘积为：

      I
 n = ∏  piki (I 为 n 的素因子的个数)
     i=1

根据前面两个结论，很容易得出它的欧拉函数为：

         I                      I
 Φ(n) = ∏  piki -1(pi -1) = n ∏ (1 - 1 / pi)
        i=1                    i=1

对于任意 n > 2，2 | Φ(n) ,因为必存在  p_i -1 是偶数。

程序代码可参见：http://blog.youkuaiyun.com/Rappy/archive/2007/08/16/1747489.aspx

参考来源：
http://blog.youkuaiyun.com/ray58750034/archive/2006/03/27/640074.aspx