快速幂算法及其应用_快速幂运用-优快云博客

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快速幂是一种利用二进制拆分思想，将指数运算时间复杂度降低到O(log₂N)的算法。通过不断计算底数的平方并根据二进制位进行乘法，可以高效地处理大数的次方运算，常用于欧拉定理等数学问题中。给出的代码示例展示了如何实现快速幂算法。

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快速幂

1.引入
2.快速幂的介绍
3.代码实现
4.总结

1.引入

我们首先来思考一个问题，求一个数a的b次方。这个问题看起来是不是很简单，下面的代码就可以轻松解决。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int a,b;

int main(){
	cin>>a>>b;
	cout<<pow(a,b)<<endl;
	return 0;
}

这个代码的时间复杂度是O(N)这样写的话，等于小的数据还可以做，但是数据如果很大的话，就算开unsigned long long也不行，所以我们需要一种更快，并且能算的数更大的算法，而这就是快速幂算法。

2.快速幂的介绍

快速幂，顾名思义，就是快速算底数的n次幂。其时间复杂度为 O(log₂N)，与朴素的O(N)相比效率有了极大的提高。而怎么达到O(log₂N)的呢，那就是用二进制的思想。
我们可以举一个例子：
3^10=3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3
= (3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3) * (3 * 3)
=(3 * 3) ^ 5
=9 ^ 5
=(9 ^ 4) * (9 ^ 1)
=(6561 ^ 1) * (9 ^ 1)
那对于a的b次方，，我们也可以转换成二进制的方式。
我们可以将b转换成二进制数，例如b=11，那么b就等于2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 3，那么a^b =a^(2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 3)，那么就可以变成a ^ (2 ^ 0)*a ^ (2 ^ 1)*a ^ (2 ^ 3)。

3.代码实现

既然我们知道了是用二进制来实现，那就可以将这个数不断拆分，不断的算底数的平方就可以了。

long long qkpow(long long a,long long b){
	long long sum=1;
	while(b){
		if(b&1) sum*=a;
		a*=a;
		b>>=1;
	}
	return sum;
}

4.总结

快速幂一般是用于在边幂运算边取模的，例如在写欧拉定理时就要用到快速幂，快速幂在一般情况下是完全够用的，但也无法避免还要大的数，所以快速幂也还可以再优化，想了解的可以自行查阅资料。