24、未校准透视相机的结构与运动分析

未校准透视相机的结构与运动分析

1 弱透视模型下的重建

在弱透视模型下对房屋进行重建，通过与真实数据进行配准（通过相似变换）后，重建点与真实点之间的平均欧氏距离为 0.83cm，平均相对误差为 3.0%。与简单仿射重建相比，配准误差稍大，这是因为仿射变换（12 个自由度）比相似变换（7 个自由度）具有更多的“自由度”。

2 未校准透视相机的基本概念

2.1 透视投影方程

假设相机的内参数未知，给定 n 个固定点 $P_j$（$j = 1, \cdots, n$）被 m 个相机观测到，其对应图像的 $mn$ 个齐次坐标向量 $p_{ij} = (x_{ij}, y_{ij}, 1)^T$，对应的透视投影方程为：
[
\begin{cases}
x_{ij} = \frac{m_{i1} \cdot P_j}{m_{i3} \cdot P_j} \
y_{ij} = \frac{m_{i2} \cdot P_j}{m_{i3} \cdot P_j}
\end{cases}
]
其中，$m_{i1}^T$、$m_{i2}^T$ 和 $m_{i3}^T$ 表示与第 $i$ 个相机相关联的 3×4 投影矩阵 $M_i$ 在某个固定坐标系中的行，$P_j$ 表示点 $P_j$ 在该坐标系中的齐次坐标向量。

2.2 投影投影矩阵的定义

通常，任意 3×4 矩阵 $M = \begin{bmatrix}A \ b\end{bmatrix}$（其中 $A$ 是一个非奇异的 3×3 矩阵，$b$ 是 $\mathbb{R}^3$ 中的任意向量）可以被解释为透视